四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

试卷日期：2025-03-28 考试类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 前4项为1，3，6，10，则第10项为（）

A、28 B、30 C、44 D、55

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2. 已知2既是2m与n的等差中项，也是m与2n的等比中项，则m，n的等比中项为（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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3. 用数学归纳法证明“ $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ”时，由 $n = k (k \in N^{*})$ 的假设证明 $n = k + 1 (k \in N^{*})$ 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）

A、 $\frac{1}{6} k (k + 1) (2 k + 1)$ B、 $\frac{1}{6} k (k + 1) (2 k + 3)$ C、 $\frac{1}{6} (k + 1) (k + 2) (2 k + 3)$ D、 $\frac{1}{6} k (k + 1) (2 k + 1) (2 k + 3)$

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4. 若 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且 $f^{'} (a) = - 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a - Δ x) - f (a)}{2 Δ x} =$ （）

A、－2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为正项等比数列， $a_{5} a_{6} a_{7} = 27$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{11}$ 的值为（）

A、10 B、11 C、15 D、16

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6. 设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{3} = 4$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 6$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{6}} =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{19}{10}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{19}{6}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列结论正确的是（       ）
① $f^{'} (3) > f^{'} (2)$              ② $f^{'} (3) < f^{'} (2)$
③ $f (3) - f (2) > f^{'} (3)$        ④ $f (3) - f (2) < f (1)$

A、①③ B、②③ C、②④ D、②③④

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} (3 - 2 a) n - 3, n \leq 7 \\ {(2 a)}^{n - 6}, n > 7 \end{cases} (n \in N^{*})$ ，且数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $[1, \frac{3}{2})$ C、 $[\frac{9}{8}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.

9. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、常数数列既是等差数列也是等比数列 B、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则 $\{2^{a_{n}}\}$ 为等比数列 C、若 $S_{n} = 3^{n - 1} - 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 D、若 $a_{1} = 10$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 17 - 2 n ， (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2 k - 1} = 12 - 2 k (k \in N^{*})$

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10. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，首项 $a_{1} > 0$ ，公差 $d \neq 0$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $S_{3} = S_{11}$ ，则必有 $S_{14} = 0$ B、若 $S_{3} = S_{12}$ ，则 $S_{n}$ 取最大值时 $n = 7$ C、若 $S_{7} > S_{8}$ ，则必有 $S_{8} > S_{9}$ D、若 $S_{7} > S_{8}$ ，则必有 $8 S_{6} > 6 S_{8}$

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11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为 $\{a_{n}\}$ ，有 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（）

A、 $a_{2} + S_{2023} = a_{2025}$ B、该数列的前2025项中能被3整除的有506项 C、 $a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2024} = a_{2025}$ D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{2024}^{2} = a_{2024} a_{2025}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.

12. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 都是等差数列，且前n项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 1}{2 n + 5}$ ，则 $\frac{a_{4}}{b_{5}} =$ .

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $2 a_{n + 1} - a_{n} a_{n + 1} = 1 (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式为.

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14. 若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = (104 - 4 n) \times {1.05}^{n} (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 中的最大项是第项.

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四、解答题：共6小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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16. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $3 S_{n} = (n + 2) a_{n}$ ， $a_{1} = 1$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前n项的和为 $T_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} < \frac{λ}{12}$ ，求正整数 $λ$ 的最小值.

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17. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $4 a_{2}$ ， $2 a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，且 $S_{4} = 8 a_{2} - 2$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使得这 $n + 2$ 个数依次构成公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 某人今年月初向银行申请贷款12万元用于消费，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分12个月还清.银行给他提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息），贷款月利率都为0.3%.

(1)、若采取等额本金的还贷方式，求他第一个月还贷需支付多少利息；还清贷款共支付多少利息.

(2)、若采取等额本息的还贷方式，设他每月还贷m元（包括本金和利息），
①求第一个月还贷后所欠银行贷款为多少元（用含m的式子表达）；
②求出m的值；
③判断等额本息与等额本金的还贷方式哪种支付利息总额多，多多少元？
（参考数据 ${1.003}^{11} \approx 1.033$ ， ${1.003}^{12} \approx 1.036$ ， ${1.003}^{13} \approx 1.039$ ）

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若对 $\forall n \in N^{*}$ ，有且仅有一个 $m \in N^{*}$ ，使得 $S_{m} \leq a_{n} < S_{m + 1}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“K数列”.记 $b_{n} = S_{m + 1} - a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，称数列 $\{b_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“配对数列”.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前四项依次为1，2，0，2，试判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否为“K数列”，并说明理由；

(2)、若 $S_{n} = 2^{n}$ ，证明数列 $\{a_{n}\}$ 为“K数列”，并求它的“配对数列”的通项公式；

(3)、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“K数列”，且数列 $\{a_{n}\}$ 的“配对数列”为等差数列，证明： $S_{n} \leq (1 + 2^{n - 2}) a_{1}$ .

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