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1、如图，两个正四棱锥的底面都为正方形 $A B C D$ ，顶点 $M, N$ 位于底面两侧， $|A B| = 2, A M ⊥ A N$ ．记正四棱锥 $M - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱锥 $N - A B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ．

(1)、求 $V_{1} + V_{2}$ 的最小值；

(2)、若 $V_{1} = 2 V_{2}$ ，求直线 $A M$ 与平面 $B C N$ 所成角的正弦值．

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2、某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

(1)、第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试．
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；

(2)、第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的 $2 \times 2$ 列联表．
体育成绩
学业成绩
合计
优秀
不优秀
不优秀
200
400
600
优秀
100
100
200
合计
300
500
800
根据小概率值 $a = 0.005$ 的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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3、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 (n + 1)}{n} a_{n} \cdot (n \in N^{*})$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ 在 $b_{k}$ 和 $b_{k + 1}$ 之间插入k个数，使这 $k + 2$ 个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为 $c_{k}$ ，其中 $k = 1$ ， 2，…，n，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和．

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ) (ω > 0 ， | ϕ | < π)$ 的部分图象如下图所示，且 $A (\frac{π}{2} ， 1) ， B (π ， - 1)$ ，则 $ϕ$ 的值为．

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5、过点 $M (- 3, - 3)$ 且互相垂直的两直线与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y - 21 = 0$ 分别相交于A、B和C、D，若 $|A B| = |C D|$ ，则四边形ACBD的面积等于．

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6、已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为 $\sqrt{5}$ ，则这个圆台的体积为

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7、下列选项中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (10, \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X) = 5$ B、口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{7}{5}$ C、抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，令事件 $A = \{2, 3, 4\}$ ，事件 $B = \{1, 2\}$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

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8、设 $e$ 为自然对数的底数，函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{x} - a \ln x (x > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = e$ 时， $f (x)$ 无极值点 B、当 $a > e$ 时， $f (x)$ 有两个零点 C、当 $1 < a < e$ 时， $f (x)$ 有1个零点 D、当 $a \leq 1$ 时， $f (x)$ 无零点

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9、已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若 $\vec{P F} = 3 \vec{M F}$ ，则（）

A、 $|M F| = \frac{2}{3}$ B、 $|M N| = \frac{8}{3}$ C、 $|F Q| = 1$ D、 $|P Q| = 2$

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10、若 $2 \cos 2 x = 1 + \sin 2 x$ ，则 $\tan x =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ 或3

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11、在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有

A、24种 B、48种 C、96种 D、144种

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12、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - 1 (ω > 0)$ 的相邻两对称轴间的距离为 $π$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (2 θ + \frac{π}{3}) = - \frac{2}{7}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin θ$ 的值．

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13、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 3$ ， $A C = 4$ ， $P$ 在线段 $B C$ 上，且 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A P}$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 60 °$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ .

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14、已知 $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $120^{°}$ ，求：

(1)、 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \bar{b}$ 的夹角；

(3)、若向量 $2 \vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 3 \vec{b}$ 平行，求实数 $λ$ 的值.

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15、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan β$ 的值．

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16、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω =$ ， $f (\frac{7 π}{12})$ 的值为.

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17、已知梯形ABCD中， $A B / / C D, A B = 2 C D$ ，三个顶点 $A (4, 2), B (2, 4), C (1, 2)$ .则顶点 $D$ 的坐标.

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18、下列说法中正确的是（）

A、向是 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ 能作为平面内所有向量的一组基底 B、 $\cos 42^{°} \cos 18^{°} - \cos 48^{°} \sin 18^{°} = \frac{1}{2}$ C、两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 D、若 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ \in (- 5, + \infty)$

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19、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，则下列说法中正确的是（）

A、函数的最小正周期为 $2 π$ B、函数的表达式 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (\frac{π}{12}) = \sqrt{3}$ D、函数图象是由 $y = \sin 2 x$ 图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位而得到

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20、在平面直角坐标系中，已知点 $O (0, 0), \vec{O A} = (1, 2), \vec{O B} = (3, 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{A B} | = \sqrt{5}$ B、与 $\vec{O B}$ 垂直的单位向量的坐标为 $(- \frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ 或 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ C、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(1, \frac{1}{3})$ D、 $△ A O B$ 是直角三角形

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体育成绩	学业成绩		合计
体育成绩	优秀	不优秀	合计
不优秀	200	400	600
优秀	100	100	200
合计	300	500	800

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828