湖北省荆楚优质高中联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

试卷日期：2025-03-29 考试类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x ∣ (x + 1) (x - 2) < 0}, B = \{x ∣ y = ln (x - 1)\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x ∣ x > 2\}$ B、 $\{x ∣ x > - 1\}$ C、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ D、 $\{x ∣ x > 1\}$

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2. “ $θ = \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin θ = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $a = {log}_{2} 3, b = ln 0.2, c = {0.3}^{0.2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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4. 已知正数 $x, y$ 满足 $3^{2 - x} = {(\sqrt{3})}^{2 y}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2} + \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} + 2 \sqrt{2}$

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5. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}, \forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 2$ B、 $m = 2$ 或 $m = - 1$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 是奇函数

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6. 如今科技企业掀起一场研发 $AI$ 大模型的热潮， $AI$ 大规模应用成为可能，尤其在图文创意，虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用. $Sigmoid$ 函数和 $Tanh$ 函数是研究人工智能被广泛使用的两种用作神经网络的激活函数， $Tanh$ 函数的解析式为 $tanh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ，经过某次测试得知 $tanh \frac{x_{0}}{2} = \frac{1}{2}$ ，则当把变量增加一倍时， $tanh x_{0} =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象在区间 $[0, 1)$ 上恰有2个最高点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{13 π}{6}, \frac{25 π}{6}]$ B、 $(\frac{3 π}{2}, \frac{13 π}{6})$ C、 $[\frac{3 π}{2}, \frac{13 π}{6})$ D、 $[\frac{13 π}{6}, \frac{25 π}{6}]$

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8. 设函数 $y = m$ 与函数 $y = sin x, y = cos x, y = tan x$ 的图象在 $(0, \frac{π}{2})$ 内交点的横坐标依次是 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ，且 $sin (x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}) = \frac{1}{2}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小遗给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0, x^{2} - x \geq 1$ ”的否定形式是“ $\exists x \leq 0, x^{2} - x < 1$ ” B、函数 $y = 2 {log}_{a} (3 - x) + 3 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过定点 $(2, 3)$ C、方程 ${(\frac{1}{2})}^{x} - x = 2$ 的根所在区间为 $(- 1, - \frac{1}{2})$ D、若命题“ $\forall x \in R, x^{2} + 2 a x + a + 2 \geq 0$ 恒成立”为真命题，则“ $a < - 1$ 或 $a > 2$ ”

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10. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = 2 cos 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图像 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 2, - \sqrt{3}]$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sinπ x, 0 < x \leq 1 \\ |{log}_{2} (x - 1)|, x > 1 \end{array}$ ，若存在四个实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4}) = t$ ，则（）

A、 $t$ 的范围为 $(0, 1)$ B、 $x_{3} x_{4}$ 的取值范围为 $(3, 5)$ C、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围为 $(5, \frac{11}{2})$ D、 $x_{1} f (x_{4})$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}]$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知扇形的面积为8，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为.

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13. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \vec{N C}$ ，点 $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = (m + \frac{1}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则实数 $m$ 的值是.

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14. 对于函数 $f (x)$ ，若在其定义域内存在两个实数 $a, b (a < b)$ ，使当 $x \in [a, b]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[a, b]$ ，则称函数 $f (x)$ 为“保值”函数，区间 $[a, b]$ 称为函数 $f (x)$ 的“等域区间”.
（1）请写出一个满足条件的“保值”函数：
（2）若函数 $f (x) = k + \sqrt{x + 2}$ 是“保值”函数，则实数k的取值范围是.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是不共线的两个向量.

(1)、若 $\vec{O A} = 2 \vec{a} - \vec{b}, \vec{O B} = 3 \vec{a} + \vec{b}, \vec{O C} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，求证： $A, B, C$ 三点共线；

(2)、若 $8 \vec{a} + k \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 4 \vec{b}$ 共线，求实数 $k$ 的值.

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16. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{1 - a x}{1 + x}$ 为奇函数，其中 $a \neq - 1$ .

(1)、求 $f (0)$ 和实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 满足 $f (1 - t) + f (1 - t^{2}) > 0$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x + {cos}^{2} x - {sin}^{2} x + a (x \in R)$ 的最大值为 $5$ .

(1)、求 $a$ 的值和 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递减区间；

(3)、若 $\forall x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ ， $f (x) + m < 0$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $x$ 轴非负半轴为始边作角 $α$ 与 $β (- \frac{π}{2} < β < 0 < α < \frac{π}{2})$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $M$ 和 $N$ ，已知点 $M$ 的坐标为 $(x, \frac{3}{5})$ .

(1)、若 $O M ⊥ O N$ ，求点 $N$ 的坐标；

(2)、若将角 $β$ 的终边按逆时针方向旋转至第一象限，且 $β$ 为锐角， $sin β = \frac{\sqrt{2}}{10}, tan γ = \frac{1}{3} (0 < γ < \frac{π}{2})$ ，求 $β + 2 γ$ 的大小.

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19. 设 $n$ 次多项式 $T_{n} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0}, (a_{n} \neq 0)$ ，若其满足 $T_{n} (cos θ) = cos n θ$ ，则称这些多项式 $T_{n} (x)$ 为切比雪夫多项式.例如：由 $cos 2 θ = 2 {cos}^{2} θ - 1$ 可得切比雪夫多项式 $T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ .

(1)、求切比雪夫多项式 $T_{3} (x)$ ；

(2)、求 $sin 18^{\circ}$ 的值；

(3)、已知方程 $8 x^{3} - 6 x - 1 = 0$ 在 $(- 1, 1)$ 上有三个不同的根，记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ .

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