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1、正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号 $I (x)$ 由三个振幅，频率相同的正弦波 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $h (x)$ 叠加而成，即 $I (x) = f (x) + g (x) + h (x)$ ，设 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ ， $g (x) = A sin (ω x + α)$ ， $h (x) = A sin (ω x + β) (A > 0, ω > 0,0 < φ < \frac{π}{2}, α, β \in (0, π))$ ，若图中所示为 $f (x)$ 的部分图象，则下列所有正确序号的是．
① $(A + ω) \cdot φ = \frac{2 π}{3}$
② $I (x)$ 的最小正周期是 $π$
③若 $α = \frac{π}{3}$ ， $β = \frac{π}{4}$ ，则 $I (x) = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) sin (2 x + \frac{π}{4})$
④不存在 $α, β, φ$ ，使得 $I (x)$ 恒为0

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2、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} (x + φ)$ ，其中 $0 < φ < π$ ，
（1）函数 $f (x)$ 的最小正周期是．
（2）若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $φ$ 的一个取值可以为．

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3、向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示．若向量 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则实数 $λ =$ ．

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4、向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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5、计算 $4 sin \frac{π}{8} cos \frac{π}{8}$ 的值是．

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6、人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，则曼哈顿距离 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，余弦距离 $e (A, B) = 1 - \cos 〈 \vec{O A}, \vec{O B} 〉$ （ $O$ 为坐标原点）.已知 $M (2, 1), d (M, N) = 1$ ，则 $e (M, N)$ 的最大近似值为（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{5} \approx 2.24$ ）

A、0.052 B、0.104 C、0.896 D、0.948

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7、设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为平面向量，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ”是“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是夹角为 $120 °$ 的两个非零向量，且 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，若向量 $λ \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 2$ D、2

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9、要得到函数 $y = \sqrt{2} sin 3 x$ 的图象，只需将函数 $y = sin 3 x - cos 3 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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10、已知在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形

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11、若 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 1$ 或0 D、 $- 1$ 或1

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12、计算 $cos 63 ° cos 18 ° + sin 63 ° sin 18 °$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x + (1 - a) x$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x) > \frac{a^{2}}{2}$ 恒成立，求正实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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15、函数 $y = x^{2} - \ln x$ 上的点到直线 $y = x - 2$ 的最短距离是．

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16、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - x + \sin x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是．

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17、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有种.

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18、下列求导正确的是（）

A、 $(\sin x)^{'} = \cos x$ B、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ C、 $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ D、 $(\log_{2} x)^{'} = \frac{1}{2^{x}}$

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19、 $f (x) = (x + 2) (x^{2} + x + m)$ 在 $R$ 上既有极大值也有极小值，实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(1, \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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20、函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \cos x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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