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1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .
（1）求证：平面 $P A B$ ；
（2）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面 $P C D$ ？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

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2、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x) = \frac{2}{1 + 2^{1 - x}}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，并写出函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性（不用证明），若 $g (- a^{2} - 1) + g (4 - 2 a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $3$ 的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，且 $a_{2} + a_{4} = b_{4} + 2$ ， $a_{1} + a_{3} = b_{2} + b_{3}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{9}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ .

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4、如下图，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 14 cm， $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 依次将 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} A_{1}$ 分为3：4的两部分，得到正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ，依照相同的规律，得到正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3} 、 A_{4} B_{4} C_{4} D_{4} 、 \dots 、 A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . 一只蚂蚁从 $A_{1}$ 出发，沿着路径 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ 爬行，设其爬行的长度为 $x$ ， $K$ 为正整数，且 $x$ 与 $K$ 恒满足不等式 $x \leq K$ ，则 $K$ 的最小值是.

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5、设函数 $f (x) = x^{3} + (a - 1) \cos x - 3 x$ ，若 $f (x)$ 为奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 过点 $(2 a, - 6)$ 的切线方程为．

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6、已知圆台 $O O_{1}$ 上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面 $A B C D$ 的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（）

A、 $A A_{1} ⊥ B D$ B、二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ C、正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $64 π$ D、设圆台 $O O_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{π}{2}$

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7、若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\log_{2} a + \log_{2} b \leq - 2$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $a + \ln b < 0$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x ln x, x > 0, \\ - x^{2} - 2 x + 1, x \leq 0, \end{array}$ 函数 $g (x) = f (x) - a$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a < - \frac{1}{e}$ ，则 $g (x)$ 恰有2个零点 B、若 $g (x)$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{1}{e}) \cup (2, + \infty)$ C、若 $g (x)$ 恰有3个零点，则 $a$ 的取值范围是 $[0, 1)$ D、若 $1 \leq a < 2$ ，则 $g (x)$ 恰有3个零点

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9、在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）

A、0.475 B、0.525 C、0.425 D、0.575

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10、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 是奇函数，则图中的 $a$ 值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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11、已知 $\vec{a} = (\sin α, 1 - 4 \cos 2 α)$ ， $\vec{b} = (1, 3 \sin α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $- \frac{2}{7}$

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12、已知 $a_{n} > 0$ ， $b_{n} = n^{2} + n$ ，函数 $f_{n} (x) = e^{x} - x + \ln a_{n} - a_{n}$ .

(1)、若 $f_{n} (x) \geq 0$ ，求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $\frac{2 b_{n}}{2 b_{n} - 1} < a_{n} < \frac{b_{n} + 1}{b_{n}}$ .记M为 $f_{1} (x), f_{2} (x), \cdot \cdot \cdot, f_{n} (x)$ 的所有零点组成的集合， $X, Y$ 为M的子集，它们各有n个元素，且 $X \cap Y = \emptyset$ .设. $x_{i} \in X, y_{i} \in Y, i = 1, 2, \dots, n$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}, y_{1} > y_{2} > \dots > y_{n}$ .证明： $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + 1) (y_{i} + 1) < n$ .

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13、已知函数 $f (x) = - 4 a ln x + x^{2} - 1.$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、探究 $f (x)$ 的最小值.

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14、函数 $y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ 的定义域为 $x \in [- 1, 1]$ ．

(1)、设 $t = 2^{x}$ ，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $\frac{y}{2^{x}} > m$ 恒成立，求 $m$ 的范围．

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15、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} e^{x}$ ，其极大值点和极小值点分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，记点 $A (x_{1}, f (x_{1})), A (x_{2}, f (x_{2}))$ ，直线 $A B$ 交曲线 $y = f (x)$ 于点 $C$ ，若存在常数 $λ \in (n, n + 1) (n \in N^{*})$ ，使得 $|A B| = λ |B C|$ ，则 $n =$ .

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16、若 $\forall a \in [e, 4)$ 有 $b < a^{3} + a - 4 \ln a - 1,$ 则 $b$ 的取值范围是.

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17、麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 $P (x = i) = P_{i} > 0$ （ $i = 1$ ， 2，…n） $\sum_{i = 1}^{n} P_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (x) = - \sum_{i = 1}^{n} P_{i} \log_{2} P_{i}$ ，则下列说法正确的有（）

A、n=1时 $H (x) = 0$ B、n=2时，若 $P_{1} \in (0, \frac{1}{2})$ ，则 $H (x)$ 与 $P_{1}$ 正相关 C、若 $P_{1} = P_{2} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ ， $P_{k + 1} = 2 P_{k} (k \geq 2, k \in N)$ ， $H (x) = 2 - \frac{n}{2^{n - 1}}$ D、若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1，2，…，m，且 $P (y = j) = P_{j} + P_{2 m + 1 - j}$ （j=1，2，…，m）则 $H (x) \geq H (y)$

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18、已知函数 $f (x) = |\lg x|, 0 < a < b,$ 且 $f (a) = f (b)$ ，则（）

A、 $a b = 1$ B、 $a b = 10$ C、 $a + 2 b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 ${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2} > 8$

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19、若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为三个集合， $A \cup B = B \cap C$ ，则一定有（　　）

A、 $A \subseteq C$ B、 $C \subseteq A$ C、 $A \neq C$ D、 $A = \emptyset$

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20、曲线 $y = \sin x$ 在原点处的切线斜率为（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\cos 1$ D、1

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