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1、如图,在三棱锥中, , 平面平面 , , , , 分别是 , 的中点,记平面与平面的交线为直线 .(1)、求证:直线平面;(2)、若直线上存在一点(与都在的同侧),且直线与直线所成的角为 , 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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2、在中,角所对的边分别是 , 已知 .(1)、求;(2)、若为锐角三角形,求的取值范围.
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3、已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上,当该圆锥的侧面积最大时,它的体积为 .
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4、已知四棱锥 , 底面是正方形,平面 , , 与底面所成角的正切值为 , 点为平面内一点(异于点),且 , 则( )A、存在点 , 使得平面 B、存在点 , 使得直线与所成角为 C、当时,三棱锥的体积最大值为 D、当时,以为球心,为半径的球面与四棱锥各面的交线长为
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5、已知函数的导函数为 , 与的定义域都是R , 且满足 , , 则下列结论正确的是( )A、的图象关于中心对称 B、为周期函数 C、 D、是偶函数
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6、设定义在上的函数 , , 且对任意 , 满足 , , 则A、 B、 C、 D、
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7、定义在上的函数满足 , (若 , 则 , c为常数),则下列说法错误的是( )A、 B、在取得极小值,极小值为 C、只有一个零点 D、若在上恒成立,则
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8、设、是两个不同的平面,、是两条不同的直线,则下列条件中可以推出的是( )A、 , , B、 , , C、 , , D、 , ,
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9、已知集合 , 若 , 则所有符合条件的实数组成的集合是( )A、 B、 C、 D、
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10、已知函数的定义域 , 值域 , 则函数为增函数的概率是 .
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11、已知是定义域为的函数,实数 , 称函数为函数的“-生成函数”,记作.(1)、若 , 求函数的值域;(2)、若 , 函数满足对任意的恒成立,求实数的取值范围;(3)、若满足:①;②在上存在导函数 , 且在上是严格增函数;③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线,求证:函数在上是严格增函数.
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12、如图所示,已知抛物线 , 点是抛物线上的四个点,其中在第一象限,在第四象限,满足 , 线段与交于点.记线段与的中点分别为.(1)、求拋物线的焦点坐标;(2)、求证:点三点共线;(3)、若 , 求四边形的面积.
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13、为加强学生睡眠监测督导,学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法,学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本,其中高一35人,高二33人.已知该校高三年级一共512人.(1)、学校高中三个年级一共有多少个学生?(2)、若抽取100名学生的样本极差为2,数据如下表所示(其中是正整数)
日均睡眠时间(小时)
8.5
9
9.5
10
学生数量
32
13
11
4
求该样本的第40百分位数.
(3)、从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间,求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. -
14、已知的内角所对边的长度分别为.(1)、若 , 求的面积;(2)、若 , 求的值.
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15、如图,在正方体中,点、分别是棱、的中点.(1)、求证:;(2)、求二面角的大小.
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16、设无穷数列的前项和为 , 且对任意的正整数 , 则的值可能为( )A、 B、0 C、6 D、12
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17、小李研究数学建模“雨中行”问题,在作出“降雨强度保持不变”、“行走速度保持不变”、“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下,他设了变量:
人的身高
人体宽度
人体厚度
降雨速度
雨滴密度
行走距离
风速
行走速度
并构建模型如下:
当人迎风行走时,人体总的淋雨量为.
根据模型,小李对“雨中行”作出如下解释:
①若两人结伴迎风行走,则体型较高大魁梧的人淋雨是较大;
②若某人迎风行走,则走得越快淋雨量越小,若背风行走,则走得越慢淋雨量越小;
③若某人迎风行走了秒,则行走距离越长淋雨量越大.
这些解释合理的个数为( )
A、 B、 C、 D、 -
18、如果是独立事件,分别是的对立事件,那么以下等式不一定成立的是( ).A、 B、 C、 D、
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19、已知实数 , 则“”是“”的( )条件.A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分也非必要
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20、已知实数 , 是虚数单位,设集合 , 集合 , 如果 , 则的取值范围为.