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1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = P C = A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $P C$ ， $P B$ 的中点，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为直线 $l$ ．

(1)、求证：直线 $l ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若直线 $l$ 上存在一点 $Q$ （与 $B$ 都在 $A C$ 的同侧），且直线 $P Q$ 与直线 $E F$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求平面 $P B Q$ 与平面 $A E F$ 所成的锐二面角的余弦值．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $c - 2 a \cos A \cos B = 2 b \cos^{2} A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围．

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3、已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为．

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4、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 1$ ， $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $M$ 为平面 $A B C D$ 内一点（异于点 $A$ ），且 $A M < 1$ ，则（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C M ⊥$ 平面 $P A B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $P B$ 与 $A M$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ C、当 $A M = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $P - B C M$ 的体积最大值为 $\frac{1}{4}$ D、当 $A M = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，以 $P$ 为球心， $P M$ 为半径的球面与四棱锥 $P - A B C D$ 各面的交线长为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} π$

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5、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 的定义域都是R ，且满足 $f^{'} (2 x) + f^{'} (- 2 x) = 0$ ， $f (2 - x) - f^{'} (x) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(2,1)$ 中心对称 B、 $f^{'} (x)$ 为周期函数 C、 $\sum_{i = 1}^{8095} f (\frac{i}{2024}) = \frac{8095}{2}$ D、 $y = f^{'} (2 - x)$ 是偶函数

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6、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ， $f (0)=2008$ ，且对任意 $x \in R$ ，满足 $f (x + 2) - f (x) \geq 3 \times 2^{x}$ ， $f (x + 6) - f (x) \leq 63 \times 2^{x}$ ，则 $f (2008)=$

A、 $2^{2005} + 2004$ B、 $2^{2007} + 2006$ C、 $2^{2009} + 2008$ D、 $2^{2008} + 2007$

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7、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + x f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ， $f (1) = 0$ （若 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $f (x) = ln x + c$ ， c为常数），则下列说法错误的是（）

A、 $f (1) < f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{3})$ B、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 取得极小值，极小值为 $\frac{1}{2 e}$ C、 $f (x)$ 只有一个零点 D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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8、设 $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面， $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线，则下列条件中可以推出 $α ⊥ β$ 的是（）

A、 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n ⊥ β$ B、 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $α \cap β = n$ C、 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ D、 $m ∥ n$ ， $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$

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9、已知集合 $A = \{- 1, 2\}, B = {x | m x - 1 = 0, m \in R}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则所有符合条件的实数 $m$ 组成的集合是（）

A、 $\{- \frac{1}{2}, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, \frac{1}{2}\}$

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10、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域 $D = {1, 2, 3, 4}$ ，值域 $A = {5, 6, 7}$ ，则函数 $y = f (x)$ 为增函数的概率是．

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11、已知 $y = f (x)$ 是定义域为 $[0, 1]$ 的函数，实数 $p \in (0, 1)$ ，称函数 $y = (1 - p) f (0) + p f (x) - f (p x), x \in [0, 1]$ 为函数 $y = f (x)$ 的“ $p$ -生成函数”，记作 $y = F_{p} (x), x \in [0, 1]$ .

(1)、若 $f (x) = cos 2 π x$ ，求函数 $y = F_{\frac{1}{2}} (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x) = a x^{2} + ln (1 + x)$ ，函数 $y = F_{\frac{1}{3}} (x)$ 满足 $F_{\frac{1}{3}} (x) \geq 0$ 对任意的 $0 \leq x \leq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 满足：① $f (0) = 0$ ；② $y = f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上存在导函数 $y = f^{'} (x)$ ，且 $y = f^{'} (x)$ 在 $(0, 1)$ 上是严格增函数；③对于任意 $p \in (0, 1), y = f (x)$ 的“ $p$ -生成函数” $y = F_{p} (x), x \in [0, 1]$ 的图像是一段连续曲线，求证：函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上是严格增函数.

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12、如图所示，已知抛物线 $Γ : y^{2} = x$ ，点 $A ､ B ､ C ､ D$ 是抛物线上的四个点，其中 $A ､ D$ 在第一象限， $B ､ C$ 在第四象限，满足 $A B$ $∥$ $C D$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $H$ .记线段 $A B$ 与 $C D$ 的中点分别为 $M ､ N$ .

(1)、求拋物线 $Γ$ 的焦点坐标；

(2)、求证：点 $M ､ H ､ N$ 三点共线；

(3)、若 $2 |H M| = |H N| = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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13、为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.

(1)、学校高中三个年级一共有多少个学生？

(2)、若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中 $x < 10, n$ 是正整数）
日均睡眠时间（小时）
$x$
8.5
9
9.5
10
学生数量
$n$
32
13
11
4
求该样本的第40百分位数.

(3)、从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率.

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A ､ B ､ C$ 所对边的长度分别为 $a ､ b ､ c$ .

(1)、若 ${(a + b)}^{2} - c^{2} = 4, C = 60 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\frac{cos C}{c} = \frac{cos A}{3 b - a}$ ，求 $sin C$ 的值.

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $E F ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - E F - B$ 的大小.

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16、设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的正整数 $n, a_{n + 1} = \frac{S_{n}}{a_{n}}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} a_{2 i} - \sum_{i = 1}^{6} a_{2 i - 1}$ 的值可能为（）

A、 $- 6$ B、0 C、6 D、12

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17、小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量：
人的身高
人体宽度
人体厚度
降雨速度
雨滴密度
行走距离
风速
行走速度
$h$
$w$
$d$
$v_{r}$
$p$
$D$
$v_{w}$
$v$
并构建模型如下：
当人迎风行走时，人体总的淋雨量为 $T = \frac{p w D}{v} [d v_{r} + h (v_{w} + v)]$ .
根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释：
①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大；
②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小；
③若某人迎风行走了 $10$ 秒，则行走距离越长淋雨量越大.
这些解释合理的个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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18、如果 $A ､ B$ 是独立事件， $\bar{A}, \bar{B}$ 分别是 $A ､ B$ 的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（）.

A、 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ B、 $P (\bar{A} \cap B) = P (\bar{A}) P (B)$ C、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ D、 $P (\bar{A} \cap \bar{B}) = [1 - P (A)] [1 - P (B)]$

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19、已知实数 $a \neq 0$ ，则“ $a > 2$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$ ”的（）条件.

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分也非必要

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20、已知实数 $a > 0$ ， $i$ 是虚数单位，设集合 $A = \{z ∣ z = w + \frac{1}{w}, |w| > 1, w \in C, z \in C\}$ ，集合 $B = \{z ∣ |z - 1 + i| = a, z \in C\}$ ，如果 $B \subseteq A$ ，则 $a$ 的取值范围为.

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日均睡眠时间（小时）	$x$	8.5	9	9.5	10
学生数量	$n$	32	13	11	4

人的身高	人体宽度	人体厚度	降雨速度	雨滴密度	行走距离	风速	行走速度
$h$	$w$	$d$	$v_{r}$	$p$	$D$	$v_{w}$	$v$