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1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为线段 $D D_{1}, B D$ 的中点.

(1)、求异面直线 $E F$ 与 $B C$ 所成角的大小；

(2)、求点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离.

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = 120 ^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕 $B C$ 轴旋转一周形成了一个旋转体.

(1)、求这个旋转体的体积；

(2)、求这个旋转体的表面积.

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3、“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five－hundred－meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（）

A、通过调查获取数据 B、通过试验获取数据 C、通过观察获取数据 D、通过查询获得数据

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4、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为

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5、设地球的半径为 $R$ ，若 $A$ 在北纬 $30^{\circ}$ 的纬线图上，则此纬线圈构成的小圆面积为.（结果用 $R$ 表示）

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6、若平行四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形 $A B C D$ 的直观图.已知 $A^{'} B^{'} = 4, ∠ D^{'} A^{'} B^{'} = 45^{\circ}$ ，平行四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为8，则原平面图形 $A B C D$ 中 $A D$ 的长度为.

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7、“石头、剪刀、布”是一种古老的游戏，操作简单，具有极为广泛的群众基础，游戏规则为：石头克剪刀，剪刀克布，布克石头.两人参加游戏，若两人都随机出手，则出手1次就能分出胜负的概率为.

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8、若五个数 $a, 0, 1, 2, 3$ 的平均数为1，则这五个数的方差等于.

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9、已知 $P (A) = 0.2, P (B) = 0.7$ ，若A，B互斥，则 $P (A \cup B) =$ .

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10、某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为.

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11、表面积为 $16 π$ 的球的体积是（结果保留 $π$ ）

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12、记事件A的对立事件为 $\bar{A}$ ，若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (\bar{A})$ 为.

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13、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上任意一点， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值是 $- 2$ ．

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 为椭圆的上，下顶点， $C, D$ 为椭圆上异于 $A, B$ 的两点，记直线 $A C, B D$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $\frac{k_{2}}{k_{1}} = 3$ ．
（ⅰ）证明：直线 $C D$ 过定点 $S$ ；
（ⅱ）设直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $Q$ ，直线 $Q S$ 的斜率为 $k_{3}$ ，试探究 $\frac{1}{k_{1}}, \frac{1}{k_{2}}, \frac{1}{k_{3}}$ 满足的关系式．

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14、已知函数 $g (x) = 1 - 2 \ln x - \frac{a}{x^{2}} (a > 0)$ ，且 $g (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ．

(1)、求 $x_{0}$ ；

(2)、证明： $2 g (x_{0}) + 2 \leq \frac{2}{a}$ ；

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15、某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了 $A 、 B$ 两个套餐服务，顾客可自由选择 $A 、 B$ 两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.
星期 $t$
1
2
3
4
5
6
销售量 $y$ （张）
218
224
230
232
236
90
经计算可得： $\bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 205, \sum_{i = 1}^{6} t_{i} y_{i} = 4004, \sum_{i = 1}^{6} t_{i}^{2} = 91$ .
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ .

(1)、因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求 $y$ 关于 $t$ 的经验回归方程；

(2)、若购买优惠券的顾客选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，并且 $A$ 套餐包含两张优惠券， $B$ 套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为 $n$ 张的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ ；

(3)、请根据下列定义，解决下列问题：
（i）定义：如果对于任意给定的正数 $σ$ ，总存在正整数 $N_{0}$ ，使得当 $n > N_{0}$ 时， $|a_{n} - a| < σ$ （ $a$ 是一个确定的实数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 收敛于 $a$ .
（ii）运用：记（2）中所得概率 $P_{n}$ 的值构成数列 $\{P_{n}\} (n \in N^{+})$ .求 $P_{n}$ 的最值，并证明数列 $P_{n}$ 收敛.

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16、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{3} + a_{4} = 19$ ， $S_{11} = 11 (b_{4} + 1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{(a_{n} - 1) b_{n} - 2}{(b_{n} + 1) (b_{n + 2} + 1)}, n 为奇数 \\ {(- 1)}^{\frac{n}{2}} (n - 1) b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{2 n} c_{i}$ ；

(3)、若对于数列 ${a_{n}}$ ，在 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 之间插入 $b_{k}$ 个 $1 (k \in N^{*})$ ，组成一个新的数列 ${d_{n}}$ ，记数列 ${d_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2025}$ .

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17、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一动点 $P$ 作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，若 $| A B | \cdot | P C |$ 的最小值是 $12$ ，则 $r =$ .

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18、若直线 $x = 1$ 上一点 $P$ 可以作曲线 $x = ln y$ 的两条切线，则点 $P$ 纵坐标的取值范围为．

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19、对一列整数，约定：输入第一个整数 $a_{1}$ ，只显示不计算，接着输入整数 $a_{2}$ ，只显示 $|a_{1} - a_{2}|$ 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值.设全部输入完毕后显示的最后的结果为 $p$ .若将从1到2022的2022个整数随机地输入，则（）

A、 $p$ 的最小值为0 B、 $p$ 的最小值为1 C、 $p$ 的最大值为2020 D、 $p$ 的最大值为2021

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20、高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如 $[- 2.1] = - 3$ ， $[2.1] = 2$ . 已知函数 $f (x) = s i n |x| + |s i n x|$ ，函数 $g (x) = [f (x)]$ ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（）

A、函数 $g (x)$ 不是周期函数； B、函数 $g (x)$ 的值域是 ${0 ， 1 ， 2}$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称： D、方程 $\frac{π}{2} \cdot g (x) = x$ 只有一个实数根；

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星期 $t$	1	2	3	4	5	6
销售量 $y$ （张）	218	224	230	232	236	90