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1、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c = 10, b = 6, A = 120^{\circ}$ ， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心， $\vec{e}$ 为与 $\vec{C B}$ 同向的单位向量，则 $\vec{C I}$ 在 $\vec{C B}$ 上的投影向量为（用 $\vec{e}$ 表示）

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2、圆锥的侧面展开图是半径为 $R$ 的半圆，则该圆锥的体积为.

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3、角 $α$ 的终边上有一点 $P (3, - 2)$ ，则 $\sin α =$

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4、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $F G$ 与 $E B$ 是共面直线 B、如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、过 $A$ ， $B_{1}$ ， $D_{1}$ 三点作一个截面，截得的几何体 $A_{1} - A B_{1} D_{1}$ 的体积 $\frac{4}{3}$ D、若在 $A D_{1}$ 上存在一点 $M$ 使得 $A_{1} M + M C$ 最小，最小值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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5、下列说法正确的是（）

A、空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件 B、在复数集 $C$ 中，方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 有两个解，依次为 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $A \in α, A \in β$ ，则 $α \cap β = A$ （ $α, β$ 为平面， $A$ 为点） D、 $\forall a \in R$ ，二次函数 $y = x^{2} + a$ $(x \in R)$ 为偶函数

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6、如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点 $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，点 $A$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{6}$ ．点 $B$ 是直线 $l_{2}$ 上一个动点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，点 $E, F$ 在线段 $B C$ 上运动（包括端点）且 $E F = 1$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为（）

A、 $3$ B、 $\frac{11}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B A} \cdot \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2} = 0$ ， $\frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} \cdot \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰直角三角形 B、三边均不相等的三角形 C、等边三角形 D、等腰（非直角）三角形

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8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是 $1 %$ 的前提下，我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作是经过365天的“进步值”， ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据： $\lg 101 \approx 2.0043$ ， $\lg 99 \approx 1.9956$ ）

A、100 B、230 C、130 D、365

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9、孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛．常德立德中学高一学生为了测量塔高 $A B$ ，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测量得 $∠ C D B = 120^{°}, C D = 60$ 米，在点 $C, D$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角分别为 $30^{°}, 45^{°}$ ，则孤峰塔高 $A B =$ （）

A、 $60$ 米 B、 $60 \sqrt{2}$ 米 C、 $60 \sqrt{3}$ 米 D、 $30 \sqrt{2}$ 米

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10、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b = 3$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{39}$

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11、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} / / B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} C^{'} = 3$ ，则该平面图形的高为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、3 C、 $6$ D、 $6 \sqrt{2}$

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12、若复数 $z = 3 + i$ ，则 $z$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $1$

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13、已知集合 $A= \{1,2,3\}, B = \{1,2,6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1,2,3,6\}$ B、 $\{3,6\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{1, 2\}$

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14、已知函数 $f (x) = 2 x - 2 (a + 2) \sqrt{x} + a \ln x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $△ P A B$ 是边长为2的正三角形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = \frac{π}{3}, B C = 4, E$ 为棱 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P A B$ ．

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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16、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{7} = - 3$ ， $S_{9} = 3 a_{4}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = |a_{n}|$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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17、已知 $f (x) = x^{2} \ln x$ 当 $0 < x_{1} < x_{2} < e$ 时， $m (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) < f (x_{1}) - f (x_{2})$ 恒成立，则m的取值范围是

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2^{n + 1} + m$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} + \frac{b_{2}}{2} + \frac{b_{3}}{3} + \dots + \frac{b_{n}}{n} = n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m = - 1$ B、设 $f (n) = \frac{{a_{n}}^{2} + 36}{a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $f (n)$ 的最小值为12． C、若 $t a_{n} - b_{n} + 2 > 0$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则 $t > \frac{1}{8}$ D、设 $c_{n} = \frac{a_{n} (1 - b_{n})}{b_{n} b_{n + 1}}$ 若数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} < 2$

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 ${l n T_{n}}$ 是等差数列 D、数列 ${\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}}$ 是等比数列

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20、数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想： $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1 (n = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 $F_{5} = 641 \times 6700417$ ，不是质数．现设 $a_{n} = \log_{2} (F_{n} - 1)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使不等式 $\frac{2^{2}}{S_{1} S_{2}} + \frac{2^{3}}{S_{2} S_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2^{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}} < \frac{2024}{4049}$ 成立的正整数 $n$ 的最大值为（）

A、11 B、10 C、9 D、8

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