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1、如图

(1)、【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE ，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F ，连接BD^' ， D'E ．
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF ．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长BE交DF于点G ．
②进一步探究发现，当点D^'与点F重合时，∠CDF＝ ▲ °．

(2)、【类比迁移】
如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE ，作点D关于BE的对称点D'，DD^'的延长线与BC的延长线交于点F ，连接BD'，CD'，D'E ．当CD'⊥DF ， AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；

(3)、【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝ $\sqrt{3}$ ， AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF ，请直接写出此时OF的长．

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2、在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6, B D ⊥ A C$ ，垂足为 $D$ ，点 $E$ 为AB边上一点，点 $F$ 为直线BD上一点，连接EF，将线段EF绕点 $E$ 逆时针旋转 $6 0^{°}$ 得到线段EG，连结FG．

(1)、如图1，当点 $E$ 与点 $B$ 重合，且GF的延长线过点 $C$ 时，连接DG，求线段DG的长；

(2)、如图2，点 $E$ 不与点A，B重合，GF延长线交BC边于点 $H$ ，连接EH，求 $\frac{B E + B H}{B F}$ 的值．

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3、定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．

(1)、写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是；

(2)、如图1，在正方形ABCD中，点E ， F ， G分别在AD ， AB ， BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且 $∠ E F G = 9 0^{°}, A F = C G$ ．
①求证： $E G = D G$ ；
②若 $B C = n \cdot B G$ ，求 $n$ 的值；

(3)、如图2 ，在Rt $△ A B C$ 中， $\frac{A C}{B C} = 2, A B = \sqrt{5}$ ，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD ．过点 $D$ 作CB的延长线的垂线，垂足为 $E$ ，且 $△ A C B$ 与 $△ D B E$ 相似，求四边形ACBD的面积．

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4、如图1，在菱形ABCD中， $A B = \sqrt{3}, ∠ B C D = 12 0^{°}, M$ 为对角线BD上一点 $(M$ 不与点B、D重合)，过点 $M N / / C D$ ，使得 $M N = C D$ ，连接CM、AM、BN．

(1)、当 $∠ D C M = 3 0^{°}$ 时，求DM的长度；

(2)、如图2，延长BN、DC交于点 $E$ ，求证： $A M \cdot D E = B E \cdot C D$ ；

(3)、如图3，连接AN，求 $A M + A N$ 的最小值．

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5、如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．即S△ABC＝ $\frac{1}{2}$ ah
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（﹣1，﹣4），交x轴于点A（﹣3，0），交y轴于点B．

(1)、求抛物线和直线AB的解析式；

(2)、点P是抛物线（在第三象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

(3)、在直线AB的下方是否存在一点P，使S△PAB的面积最大？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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6、如图1，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0），与y轴交于点C（0，4）．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点N，使∠MNB＝90°？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、如图2，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），分别与抛物线、直线BC以及x轴交于点P，E，F，过点P作PQ⊥BC于点Q，求面积△PQE的最大值．

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7、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴分别相交于 $A (- 1, 0) ， B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C (0, 3)$ ．

(1)、求出这条抛物线的解析式及顶点 $M$ 的坐标；

(2)、PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点 $P$ 在点 $Q$ 上方），求 $A Q + Q P + P C$ 的最小值；

(3)、如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由

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8、如图，二次函数 $y = \frac{3}{4} x^{2} - \frac{9}{4} x + 3$ 与 $x$ 轴交于A，B两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．点 $D (m, n)$ 是该二次函数图象上的一个动点，过 $D$ 作 $y$ 轴的平行线，与直线AC交于点 $E$ ．

(1)、求出A，B，C三点坐标及直线AC的解析式；

(2)、若点 $D$ 在第二象限的抛物线上运动，设DO与直线AC交于点 $F, \frac{D F}{F O} = t$ ，求出 $t$ 的最大值；

(3)、在点 $D$ 运动的过程中，线段DO与EC是否能相等？若能相等，请直接写出这时 $m$ 的值；若不能相等，请说明理由．

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9、如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．

(1)、求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)、连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；

(3)、在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，﹣3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．

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10、如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （b，c为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，﹣2）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；存在，理由：

(3)、点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN+ON的最小值．

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11、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0) 、 B (3, 0)$ ．

(1)、求b、c的值；

(2)、如图1直线 $y = k x + 1 (k > 0)$ 与抛物线第一象限的部分交于 $D$ 点，交 $y$ 轴于 $F$ 点，交线段BC于 $E$ 点．求 $\frac{D E}{E F}$ 的最大值；

(3)、如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点 $P$ ，与直线BC相交于点 $M$ ，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ Q M B$ 与 $△ P M B$ 的面积相等？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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12、如图，直线 $y = - x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过B，C两点，与 $x$ 轴另一交点为 $A$ ．点 $P$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度在线段BC上由点 $B$ 向点 $C$ 运动（点 $P$ 不与点 $B$ 和点 $C$ 重合），设运动时间为 $t$ 秒，过点 $P$ 作 $x$ 轴垂线交 $x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $M$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当 $\frac{M Q}{N Q} = \frac{1}{2}$ 时，求t的值；

(3)、如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．

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13、如图所示：二次函数y＝x²﹣x﹣6的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．

(1)、求直线BC的函数表达式；

(2)、如图1，若点M为抛物线上线段BC右侧的一动点，连接CM，BM．求△BMC面积的最大值及相应点M的坐标；

(3)、如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACO＝∠BCP？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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14、如图，抛物线y＝ax²+bx经过点A（8，0）与点B（10，﹣5），点F是x轴上方抛物线上的一个动点，过点F分别作x轴，y轴的平行线，与抛物线交于另一点E，与直线OB交于点C．再过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两条平行线交于点D．点F的横坐标为m，且0＜m＜4．

(1)、求出抛物线与直线OB的函数关系表达式；

(2)、当四边形FCDE是正方形时，求出点F的坐标；

(3)、在满足（2）的条件下，在直线OB上取一点P，连接PF．将线段PF以点P为中心，顺时针方向旋转90°，点F的对应点为Q．当点Q正好落在抛物线上时，直接写出这时点P的坐标．

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15、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a（a≠0）交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．

(1)、求点 $B$ 的坐标和 $a$ 的值；

(2)、如图1，点D，P分别在一，三象限的抛物线上，其中点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，连接BP，交 $y$ 轴于点 $E$ ，连接CD，DE，设 $△ C D E$ 的面积为 $s$ ，若 $s = - \frac{3}{4} t$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点 $D$ 逆时针旋转 $9 0^{°}$ 得到线段DF，射线AE与射线FB交于点 $G$ ，连接AP，若 $∠ A G B = 2 ∠ A P B$ ，求点 $P$ 的坐标．

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16、已知∠MAN ， AC平分∠MAN ．

(1)、在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；

(2)、在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、在图3中：①∠MAN＝60°，∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝AC；
②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC＝180°，则AB+AD＝AC（用含α的三角函数表示），并给出证明

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17、如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．

(1)、线段AC＝；

(2)、求点D坐标及折痕DE的长；

(3)、若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图，在长方形ABCD中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 9 0^{°}, A B =$ CD＝2，AD＝BC＝3，点E在边BC上，且BE＝1，动点P从点A出发，以1个单位/秒的速度沿路径A→B→E运动，同时动点Q从点D出发，以同样的速度沿DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒．

(1)、当x＝2秒时，线段AQ＝；

(2)、当点P在AB边上运动时，已知图中阴影部分面积为 $\frac{8}{3}$ ，求x的值；

(3)、在点P、Q运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP= $\frac{1}{3}$ DQ？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

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19、在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的正半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．

(1)、如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．
求证：△BOP∽△PCE；

(2)、在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C^'正好落在线段AD上．连接PC'，求点P的坐标．

(3)、如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标.

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20、已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF ， CE ，点M是CE的中点，连接DM ．

(1)、请你猜想AF与DM的数量关系是．

(2)、如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．
①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提
示：延长DM到点N ，使MN＝DM ，连接CN）
②求证：AF⊥DM；
③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC ，求 $\frac{A D}{E D}$ 的值．（可不写过程，直接写出结果）

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