安徽省马鞍山市2017届九年级上册数学期末考试试卷

试卷日期：2018-01-23 考试类型：期末考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = 2 x^{2}$ 的图象向上平移2个单位，所得图象的表达式为（）

A、 $y = 2 x^{2} - 2$ B、 $y = 2 x^{2} + 2$ C、 $y = 2 {(x - 2)}^{2}$ D、 $y = 2 {(x + 2)}^{2}$

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2. 三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、- $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形面积是（）

A、2 cm² B、4 cm² C、8 cm² D、16 cm²

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4. 一个直角三角形的两直角边长分别为 $x ， y$ ，其面积为2，则表示 $y$ 与 $x$ 之间关系的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、不符合题意

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5. 如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为2， $D E$ 是它的中位线．给出3个结论：
⑴ $D E = 1$ ；
⑵ $△ C D E ∽ △ C A B$ ；
⑶ $△ C D E$ 的面积与 $△ C A B$ 的面积之比为1∶4．其中正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 已知二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的

y

与

x

的部分对应值如下表：

$x$	…	-1	0	1	3	…
$y$	…	-3	1	3	1	…

则下列判断中正确的是（）

A、拋物线开口向上 B、拋物线与

y

轴交于负半轴 C、当

x = 4

时，

y > 0

D、方程

a x^{2} + b x + c = 0

的正根在3与4之间

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7. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 $m$ ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 $m$ ，那么相邻两树间的坡面距离为（）

A、5 $m$ B、6 $m$ C、7 $m$ D、8 $m$

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8. 如图， $△ A B C$ 与 $△ E D F$ ，其中 $B C$ ＝ $D F$ ， $A C = E F$ ， $∠ A C B = 65 °$ ， $∠ E F D = 115 °$ ．记 $△ A B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ E D F$ 的面积为 $S_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{1} > S_{2}$ B、 $S_{1} < S_{2}$ C、 $S_{1} = S_{2}$ D、无法确定

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9. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 上的点， $D E ⊥ A C$ ， $E F ⊥ A B$ ， $F D ⊥ B C$ ，则 $△ D E F$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积之比等于（）

A、1∶3 B、2∶3 C、 $\sqrt{3}$ ∶2 D、 $\sqrt{3}$ ∶3

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10. 如图，一次函数 $y_{1} = - x$ 与二次函数 $y_{2} = a x^{2} + b x + c$ 的图象相交于 $P ， Q$ 两点，则函数 $y = a x^{2} + (b + 1) x + c$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 若 $\frac{a}{5} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \neq 0$ ，则 $\frac{a + b + c}{b} =$ .

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12. 一根竹竿的高2米，影长为1.5米，同一时刻，某住宅楼的影长是30米，则此楼的高度为．

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13. 函数 $y = - x^{2} - 4 x + 6$ 的最大值是．

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14. 计算： $sin 45 ° \cdot cos 30 °$ = ．

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15. 如图，已知 $△ A B O$ 顶点 $A (- 3 ， 6)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，把 $△ A B O$ 缩小到原来的 $\frac{1}{3}$ ，则与点 $A$ 对应的点 $A'$ 的坐标是．

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16. 如图，锐角 $△ A B C$ 中， $B C ＝ 6$ ， $S_{△ A B C} = 12$ ， $M 、 N$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上，且 $M N$ ∥ $B C$ ，以 $M N$ 为边向下作矩形 $M P Q N$ ，设 $M N = x$ ，矩形 $M P Q N$ 的面积为 $y （ y > 0 ）$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为．

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17. 如图，点P是 $△ A B C$ 内一点，过点P分别作直线平行于 $△ A B C$ 的各边，所形成的三个小三角形△₁、△₂、△₃（图中阴影部分）的面积分别是1，9和49．则△ABC的面积是．

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ )的图象如上图所示，给出4个结论：
① $b^{2} - 4 a c > 0$ ；② $a b c < 0$ ；③ $8 a + c > 0$ ；④ $9 a + 3 b + c < 0$ ．其中正确的是 (把正确结论的序号都填上)．

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三、解答题

19. 已知二次函数图象的顶点为 $A (1 ， - 4)$ ，且过点 $B (3 ， 0)$ ．求该二次函数的表达式．

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20. 如图，已知 $A (－ 4 ， 2) ， B (n ，－ 4)$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象与一次函数 $y = k x + b$ 的图象的两个交点．

(1)、求此反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、根据图象写出不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

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21. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D ， B ， C ， E$ 在同一条直线上，且 $∠ D A E ＝ 120 °$ ．

(1)、请直接写出图中相似的三角形；

(2)、探究 $D B ， B C ， E C$ 之间的关系，并说明理由．

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22. 如图，某人在 $B$ 处仰望山顶 $A$ ，测得仰角 $∠ B ＝ 31 °$ ，再往山的方向（水平方向）前进 $80 m$ 至 $C$ 处仰望山顶，测得仰角 $∠ A C E ＝ 39 °$ ．求这座山的高度（人的身高忽略不计）． (参考数据：tan31º ≈ $\frac{3}{5}$ ， sin31º ≈ $\frac{1}{2}$ ， tan39º ≈ $\frac{9}{11}$ ， sin39º ≈ $\frac{7}{11}$ )

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23. 某汽车经销商购进 $A ， B$ 两种型号的低排量汽车，其中 $A$ 型汽车的进货单价比 $B$ 型汽车的进货单价多2万元，经销商花50万元购进 $A$ 型汽车的数量与花40万元购进 $B$ 型汽车的数量相等．销售中发现 $A$ 型汽车的每周销量 $y_{A}$ （台）与售价 $x$ （万元/台）满足函数关系式 $y_{A} = ﹣ x + 20$ ， $B$ 型汽车的每周销量 $y_{B}$ （台）与售价 $x$ （万元/台）满足函数关系式 $y_{B} = ﹣ x + 14$ ．

(1)、求 $A ， B$ 两种型号的汽车的进货单价；

(2)、已知 $A$ 型汽车的售价比 $B$ 型汽车的售价高2万元/台，设 $B$ 型汽车售价为 $t$ 万元/台．每周销售这两种车的总利润为 $W$ 万元，求 $W$ 与 $t$ 的函数关系式， $A ， B$ 两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？

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24. 如图1， $△ A B C$ 与 $△ E F D$ 为等腰直角三角形， $A C$ 与 $D E$ 重合， $A B ＝ A C ＝ E F ＝ 9$ ， $∠ B A C ＝ ∠ D E F ＝ 90 °$ ．固定 $△ A B C$ ，将 $△ E F D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，当 $D F$ 边与 $A B$ 边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 $D E ， D F$ （或它们的延长线）分别交 $B C$ （或它们的延长线）于点 $G ， H$ ，如图2．

(1)、证明： $△ A G C ∽ △ H A B$ ；

(2)、当 $C G$ 为何值时， $△ A G H$ 是等腰三角形？

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