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1、如图，在 $▱ A B C D$ 中，以 $B C$ 和 $A D$ 为斜边分别向内作等腰 $R t △ B C E$ 和等腰 $R t △ A D G$ ，延长 $B E$ 和 $D G$ 分别交 $A G$ 和 $C E$ 于点 $H$ 和 $F$ ，直线 $F H$ 分别交 $A D$ 和 $B C$ 于点 $I$ 和 $J$ .若四边形 $E F G H$ 是正方形， $▫ A B C D$ 的面积为 $S$ ，下列哪条线段的长度不能用 $S$ 来表示（）

A、 $A B$ B、 $B C$ C、 $C E$ D、 $I J$

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2、已知点 $A (x_{1}, y_{1}) B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 在双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 上，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $x_{2} + x_{3} = 0$ ，则 $y_{1}, y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$

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3、在长为 $30 m$ ，宽为 $20 m$ 的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为 $468 m^{2}$ ，求道路的宽度设道路的宽度为 $x (m)$ ，则可列方程（）.

A、 $(30 - 2 x) (20 - x) = 468$ B、 $(20 - 2 x) (30 - x) = 468$ C、 $30 \times 20 - 2 \times 30 x - 20 x = 468$ D、 $(30 - x) (20 - x) = 468$

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4、利用反证法证明 “直角三角形中至少有一个锐角不小于 $45^{\circ}$ ”，应先假设（）

A、直角三角形的两个锐角都小于 $45^{\circ}$ B、直角三角形有一个锐角大于 $45^{\circ}$ C、直角三角形的两个锐角都大于 $45^{\circ}$ D、直角三角形有一个锐角小于 $45^{\circ}$

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5、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2} - 2 = \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{{(- 1)}^{2}} = - 1$

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6、使 $\sqrt{x - 2025}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2025$ B、 $x < 2025$ C、 $x \leq 2025$ D、 $x \geq 2025$

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7、
【模型构建】如图①，两个等腰三角形 $△ A B C$ 利 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E, ∠ B A C = ∠ D A E$ ，点A为公共顶点，连接BD，CE。如果把 $△ A B C$ 的腰看作大手， $△ A D E$ 的腰看作小手，BD、CE可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”。在这个模型中，可证 $△ A D B ≅$ ▲ ．判定方法为 ▲ ． BD和CE的数量关系是 ▲ ；
【深入探究】如图②， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 为等腰直的三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 9 0^{°}$ ，判断直线BD、EC的位置关系并证明；
【抔展应用】如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 6 0^{°}$ ，点 $M$ 为BC的中点，以BC为边在下方构造等边 $△ B C D$ ，连接AM ， AD ， MD。已知点 $M$ 到AD的距离为1， $△ A M D$ 的面积为3.6，求AM的值。

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8、【知识回顾】借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略。用4个完全相同的小长方形拼成如图①的正方形，大正方形的边长为 $(a + b)$ ，小正方形（阴影部分）的边长为 $(a - b)$ 。

(1)、观察图①，写出 $(a + b)^{2}, (a - b)^{2}, a b$ 之间的等是关系式：    ▲    ；

(2)、【深入探究】小深在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若 $x$ 满足 $(10 - x) (x - 6) = 3$ ，求 $(10 - x)^{2} + (x - 6)^{2}$ 的值”，小深的解题过程如下：
令 $10 - x = a, x - 6 = b$ ，则 $a b = (10 - x) (x - 6) = 3$ 。
因为 $a + b = (10 - x) + (x - 6) = 4$ ，
所以 $(10 - x)^{2} + (x - 6)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 4^{2} - 2 \times 3 = 10$ 。
请你类比上述方法解决以下问题：
若 $x$ 满足 $(2025 - x) (x - 2024) = - 30$ ，
① $(2025 - x)^{2} + (x - 2024)^{2} =$     ▲    ；
②求 $(4049 - 2 x)^{2}$ 的值；

(3)、【应用迁移】图②是某校的花园规划用地示意图：在正方形ABCD空地中开发一个长方形区域EDGF种花，经测量种花区域的面积为 $300, A E = 15, G C = 30$ ，分别以ED ， DG为边开发正方形区域MQDE ， DHNG种草，开发长方形区域QPHD为休憩区，则整个花园MPNF的面积为    ▲    。

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9、如图，点 $D$ 在边 $A B$ 上 $, E D = A B, ∠ E = ∠ A, ∠ E D A = ∠ D C B$ 。

(1)、证明： $△ E C D ≅ △ A C B$ ；

(2)、若 $A D = C D ， ∠ E D A = 4 0^{°}$ ，求 $∠ A$ 的度数．

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10、阅读下面的推理过程，并把解题过程补充完整。
如图，已知 $A B / / C D$ ，射线AH交BC于点 $F$ ，交CD于点 $D$ ，过点 $D$ 作射线DE ，满足 $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证： $∠ B + ∠ C D E = 18 0^{°}$ 。
证明： $∵ ∠ 1 = ∠ 2$ （已知），且 $∠ 1 = ∠ B F D$ （      ）
$∴ ∠ B F D =$     ▲    （等量代换），
$∴ B C$ ∥    ▲    （      ），
$∴ ∠ C +$     ▲     $= 18 0^{°}$ （      ）
又 $∵ A B / / C D$ （已知），
$∴ ∠ C =$     ▲    （      ），
$∴ ∠ B + ∠ C D E = 18 0^{°}$ 。

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11、先化简，再求值： $(2 x + y) (2 x - y) + (10 x y^{3} - 20 x^{2} y^{2}) \div 5 x y$ ，其中 $x = 1012$ ， $y = 2025$ 。

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12、计算：

(1)、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} - | - 3 | + (π - 3.14)^{0} \times (- 1)^{2025}$ ；

(2)、 $202 5^{2} - 2024 \times 2026$ 。

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13、汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法。在综合实践课上，小圳固定镜面BC ，将镜面BA绕点 $B$ 逆时针转动 $(3 0^{°} < ∠ A B C < 18 0^{°})$ ，在光源 $P$ 处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去。已知 $∠ P D C = 2 8^{°}$ ，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为 $6 0^{°}$ 时， $∠ A B C =$ 度。

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14、已知多项式 $x^{2} + a x - 3$ 与 $x^{2} - 2 x + b$ 的乘积中不含 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ ，则 $b^{a} =$ 。

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15、如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a ， b之间，若 $∠ 2 = 4 8^{°}$ ，则 $∠ 1 =$ 度。

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16、在 $△ A B C$ 中， $a = 2.5, b = 1, c$ 为偶数，则 $c =$ 。

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17、“竹篮打水”属于事件（填“不可能”“随机”或“必然”）。

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18、如图，在四边形ABCD中， $A B = A D, ∠ A B C + ∠ A D C = 18 0^{°}$ ，点E、F分别是CB、DC延长线上的点，连接EF。已知 $∠ B A D = 2 ∠ E A F, B C = 1, D C = 1.7$ ， $C F = 1.2$ ，则 $△ E C F$ 的周长为（）

A、3.9 B、4.6 C、4.9 D、5.1

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19、将 $△ A B C$ 纸片沿EF折叠，使得 $A$ 落在 $A^{^{'}}$ 处，已知 $B A^{^{'}}$ 平分 $∠ A B C, C A^{^{'}}$ 平分 $∠ A C B$ ，且 $∠ B A^{^{'}} C = 11 8^{°}$ ，则 $∠ B E A^{^{'}} + ∠ C F A^{^{'}}$ 的度数为（）

A、 $11 2^{°}$ B、 $11 4^{°}$ C、 $11 6^{°}$ D、 $11 8^{°}$

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20、“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来。如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，由此估计黑色部分的总面积为（）

A、1.8 B、3.6 C、6.8 D、7.2

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