【培优练】人教版数学八年级下学期 18.2.3 正方形

试卷日期：2025-05-14 考试类型：单元试卷

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一、选择题

1. 下列说法中错误的是（　　）

A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B、四条边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形

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2. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( )

A、若 $A C = B D, A C ⊥ B D$ ，则四边形 $A B C D$ 是正方形 B、若 $O A = O B, O C = O D$ ，则四边形 $A B C D$ 是平行四边形 C、若 $O A = O C, O B = O D, A B ⊥ B C$ ，则四边形 $A B C D$ 是菱形 D、若 $O A = O C, O B = O D, A C = B D$ ，则四边形 $A B C D$ 是矩形

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3. 如图，将长方形纸片折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 上的点 $F$ 处，折痕为 $B E$ ．若沿 $E F$ 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）

A、邻边相等的矩形是正方形 B、对角线相等的菱形是正方形 C、两个全等的直角三角形构成正方形 D、轴对称图形是正方形

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4. 小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（）

A、对角线夹角为 $60 °$ B、对角线垂直 C、对角线与一边夹角 $45 °$ D、对角线相等

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5. 如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是（　　）

A、60° B、75° C、80° D、90°

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 24 ， B C = 25$ ，以点B为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交边 $A D$ 于点E，则 $A E$ 的长为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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7. 如图，点 $E 、 F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C 、 C D$ 上， $∠ E A F = 45^{\circ}$ ，已知 $A D = 6, D F = 2$ ，则 $S_{△ A E F}$ =（　　）

A、6 B、12 C、15 D、30

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8. 如图，有一个边长为 $4 cm$ 的正方形 $A B C D$ ，将一块 $45 °$ 的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与 $B C$ 边交于点E，与 $C D$ 边交于点F．则四边形 $O E C F$ 的面积是（）

A、 ${1cm}^{2}$ B、 ${2cm}^{2}$ C、 ${4cm}^{2}$ D、 ${5cm}^{2}$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，点E、F分别是边 $C D$ 、 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 、 $B F$ ，点M，N分别是 $B E$ 、 $B F$ 的中点，则 $M N$ 的长为（　　）

A、5 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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10. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线 $A C = 10 \sqrt{2} cm$ ，将正方形学具变形为菱形（如图2）， $∠ D A B = 60 °$ ，则图2中对角线 $A C$ 的长为（　　）

A、 $20 cm$ B、 $10 \sqrt{6} cm$ C、 $10 \sqrt{3} cm$ D、 $10 \sqrt{2} cm$

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11. 如图，在边长为10的正方形 $A B C D$ 对角线上有E，F两个动点，且 $A B = \sqrt{2} E F$ ，点P是 $B C$ 中点，连接 $A E, P F$ ，则 $A E + P F$ 最小值为（）

A、 $5 \sqrt{5}$ B、 $10 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、10

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12. 如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G.则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为 $\sqrt{13}$ ﹣2.其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 如图，正方形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E在 $B D$ 上，且 $B E = B C$ ．则 $∠ B E C$ 的度数为．

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14. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M ，交CD于点N ，垂足为O ．若AB=8，AE=6，则OM的长为．

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15. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作 $O E ⊥ O F$ 分别交AB，BC于E，F两点， $A E = 6 ， C F = 2$ ，则EF的长为．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，过点A作 $A F ⊥ D E$ 于点F．点G为线段 $F E$ 上一点，连接 $B G$ ，若 $∠ 1 = 45 °$ ， $A B = 10$ ，则 $F G$ 的长为．

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17. 如图，在正方形 $O A B C$ 中，点B的坐标是 $(3, 3)$ ，点E、F分别在边 $B C$ 、 $B A$ 上， $C E = 1$ ，若 $∠ E O F = 45 °$ ，则F点的纵坐标是．

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18. 将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 $A B C D$ ，记 $△ A E D$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $E F C G$ 的面积为 $S_{2}$ .若 $E G / / C F, E G = 4, \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{6}$ ，则图中阴影部分的面积为.

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三、解答题

19. 如图，在矩形ABCD中， $∠ B A D$ 的平分线交BC于点E ， $E F ⊥ A D$ 于点 $F, D G ⊥ A E$ 于点 $G, D G$ 与EF交于点O.

(1)、求证：四边形ABEF是正方形；

(2)、若 $A D = A E, A F = 1$ ，求DG的长.

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20. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 的长分别为 $a$ ， $b$ （ $a \geq b$ ），我们把 $\frac{a}{b}$ 定义为菱形的“神似度”．

(1)、当菱形的“神似度” $=$ ______时，菱形就是正方形；

(2)、当 $∠ B A D = 60 °$ 时，求菱形 $A B C D$ 的“神似度”．

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21. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC ， BD于F ， G ，点H为EF的中点．

(1)、若 $∠ D A G = 20 °$ ，求 $∠ D C C$ 的度数；

(2)、求证： $G C ⊥ C H$ ．

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22. 已知：如图，正方形 $A B C D$ 中， $M$ 为 $C D$ 边上一点， $N$ 为 $B C$ 边延长线上一点， $C M = C N$ ．

(1)、观察猜想 $B M$ 和 $D N$ 的大小关系，并证明你的猜想；

(2)、若 $∠ B M C = 65 °$ ，求 $∠ M N D$ 的度数．

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23. 如图，点A是菱形 $B D E F$ 对角线的交点， $B C ∥ F D$ ， $C D ∥ B E$ ，连接 $A C$ ，交 $B D$ 于点O．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、探究：当 $∠ D E F =$ ______ $°$ 时，四边形 $A B C D$ 是正方形，并证明你的结论．

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