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1、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为 $28 π$ ，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 2 a x, x \leq - 1, \\ a^{x}, x > - 1, \end{array} \end{array}$ 若对任意 $x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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3、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 3$ ，半径为3的圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 外切，则点 $C_{2}$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 4$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 24$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 24$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$

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4、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, m)$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $1$ D、 $- 1$

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5、已知命题 $p : \forall x \in (0, 9), {log}_{3} x < 2$ ；命题 $q : \exists x \in (0, 4), x^{2} < \sqrt{x}$ ．则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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6、已知集合 $A = \{x ∣ - 27 < x^{3} \leq 8\}, B = \{x ∣ x \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- 3, 2]$ D、 $(- 3, 0]$

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7、已知复数 $z = - 2 + 4 i$ （i为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是 $x$ 轴与 $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，记为 $\vec{O P} = (x, y)$

(1)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (x, y)$ ，求 $|\vec{a}|$

(2)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (\sin θ, 2)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 1)$ ， $(\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值.

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形， $A B = A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $B C$ 边上的中点为D．

(1)、求四棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} B A$ 的体积；

(2)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1} - A C D$ 后所得几何体的表面积．

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10、设 $O$ 为坐标原点，向量 $\vec{O Z_{1}}$ 、 $\vec{O Z_{2}}$ 、 $\vec{O Z_{3}}$ 分别对应复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 、 $z_{3}$ ，且 $z_{1} = a^{2} + (2 - a) i$ ， $z_{2} = - 1 + (3 - 2 a) i$ ， $z_{3} = 2 - m i$ $(a, m \in R)$ . 已知 $\bar{z_{1}} + z_{2}$ 是纯虚数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ 三点共线，求实数 $m$ 的值.

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11、将边长为 $20$ 的正三角形 $A B C$ ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $A^{'} C^{'} =$ ．

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12、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是 $△ A B C$ 内一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ．设 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 内的一点， $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 分别是的 $△ A B C$ 三个内角，以下命题正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 2 : 3$ B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 2$ ， $∠ A O B = \frac{5π}{6}$ ， $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{9}{2}$ C、若O为 $△ A B C$ 的内心， $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ C = \frac{π}{2}$ D、若O为 $△ A B C$ 的垂心， $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\cos ∠ A O B = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

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13、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $B = 45^{\circ}$ ，则角 $A$ 的值可能为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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14、已知 $A (1, - 1)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (2, 2)$ ，平面区域 $D$ 为由所有满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ 的点 $P (x, y)$ 组成的区域（其中 $1 < λ \leq a$ ， $1 < μ \leq b$ ），若区域 $D$ 的面积为 $8$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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15、阿基米德（ $A r c h i m e d e s$ ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为 $36 π$ ，则圆柱的体积为（）

A、 $36 π$ B、 $45 π$ C、 $54 π$ D、 $63 π$

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16、如图所示，在空间四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $H$ 分别是边 $A B, A D$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $\frac{C F}{C B} = \frac{C G}{C D} = \frac{2}{3}$ ，有以下结论正确的是（）

A、 $E F$ 与 $G H$ 平行； B、 $E F$ 与 $G H$ 共面； C、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 可能在直线 $A C$ 上，也可能不在直线 $A C$ 上； D、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 一定在直线 $A C$ 上．

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17、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ 且 $| \vec{a} | = 2$ |， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上投影向量的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(1, 1)$

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18、若 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $135 °$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于（）

A、 $- 3 \sqrt{2}$ B、 $- 6 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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19、若 $i (1 - z) = 1$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、 $- i$ C、1 D、 $i$

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20、从某校随机抽取 $100$ 名学生，调查他们一周课外阅读的时间(单位： $h$ )的数据，按 $[0, 2), [2, 4)$ ， ...， $[16, 18]$ 分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，已知 $b = 2 a .$
（1）求频率分布直方图中的 $a, b$ 的值；
（2）求这 $100$ 名学生这周课外阅读时间的中位数的估计值；(结果精确到 $0.1$ )
（3）为了鼓励学生养成课外阅读的习惯，学校给学生赠送笔记本作为奖励，这周课外阅读时间在 $[0, 6)$ 内的没有奖励， $[6, 10)$ 内的奖励一本笔记本， $[10, 14)$ 内的奖励两本笔记本， $[14, 18]$ 内的奖励三本笔记本，则一共奖励这 $100$ 名学生多少本笔记本？

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