相关试卷

1、【证明体验】
（1）如图1， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A D C = 60 °$ ，点E在 $A B$ 上， $A E = A C$ ．求证： $D E$ 平分 $∠ A D B$ ．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为 $A B$ 上一点，连结 $F C$ 交 $A D$ 于点G．若 $F B = F C$ ， $D G = 2 ， C D = 3$ ，求 $B D$ 的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ，点E在 $A C$ 上， $∠ E D C = ∠ A B C$ ．若 $B C = 5 ， C D = 2 \sqrt{5}, A D = 2 A E$ ，求 $A C$ 的长．

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2、阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$
则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：∵一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，
∴ $m + n = 1$ ， $m m = - 1$ ，则 $m^{2} n + m n^{2} = m m (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ______， $x_{1} x_{2} =$ ______．

(2)、初步体验：已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为m、n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

(3)、类比应用：已知实数s、t满足 $s^{2} - 3 s - 1 = 0$ ， $t^{2} - 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

(4)、思维拓展：已知实数a、b、c满足 $a + b = c - 10$ 、 $a b = \frac{27}{4 (10 - c)}$ ，且 $c < 10$ ，求c的最大值．

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3、如图， $∠ M O N = 45 °$ ，正方形 $A B B_{1} C$ ，正方形 $A_{1} B_{1} B_{2} C_{1}$ ，正方形 $A_{2} B_{2} B_{3} C_{2}$ ，正方形 $A_{3} B_{3} B_{4} C_{3}$ ， …，的顶点 $A$ ， $A_{1}, A_{2}, A_{3} \dots$ ，在射线 $O M$ 上，顶点 $B, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, \dots$ ，在射线 $O N$ 上，连接 $A B_{2}$ 交 $A_{1} B_{1}$ 于点 $D$ ，连接 $A_{1} B_{3}$ 交 $A_{2} B_{2}$ 于点 $D_{1}$ ，连接 $A_{2} B_{4}$ 交 $A_{3} B_{3}$ 于点 $D_{2}$ ， …，连接 $B_{1} D_{1}$ 交 $A B_{2}$ 于点 $E$ ，连接 $B_{2} D_{2}$ 交 $A_{1} B_{3}$ 于点 $E_{1}$ ， …，按照这个规律进行下去，设四边形 $A_{1} D E D_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $A_{2} D_{1} E_{1} D_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，四边形 $A_{3} D_{2} E_{2} D_{3}$ 的面积为 $S_{3}$ ， …，若 $A B = 2$ ，则 $S_{n}$ 等于．（用含有正整数 $n$ 的式子表示）．

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4、如图，将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，折痕为 $M N$ ，点M，N分别在边 $A D$ ， $B C$ 上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部， $M F$ 的延长线交边 $B C$ 于点G， $E F$ 交边 $B C$ 于点H． $E N = 2$ ， $A B = 4$ ，当点H为 $G N$ 三等分点时， $M D$ 的长为

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5、若x、y、z为非负实数，且 $\{\begin{cases} x + 2 y - z = 4 \\ x - y + 2 z = 1 \end{cases}$ ，则代数式 $x^{2} - 3 y^{2} + z^{2}$ 的最大值与最小值的差是．

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6、若实数x满足 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则 $2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 2025 =$ ．

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7、如图，建筑物 $B C$ 上有一旗杆 $A B$ ，从与 $B C$ 相距 $20 m$ 的 $D$ 处观测旗杆顶部 $A$ 的仰角为52°，观测旗杆底部 $B$ 的仰角为45°，求旗杆 $A B$ 的高度（结果保留小数点后一位．参考数据： $\sin 52 ° \approx 0.79$ ， $\cos 52 ° \approx 0.62$ ， $\tan 52 ° \approx 1.28$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）．

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8、2024年12月21日，第十一届全国大众冰雪季（重庆分会场）在某国际滑雪场火热开启．某校九年级1班数学学习兴趣小组针对本年级同学，就本次活动的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图表信息，解答下列问题：

(1)、九年级一共______人，其中B类所对应的圆心角为______；并将条形统计图补充完整．

(2)、若全校一共有500名学生，根据上述调查结果，请估计全校有D类学生多少人．

(3)、现从九年级非常关注本次活动的3名男生和2名女生滑雪爱好者中任选两人参加2024年川渝挑战赛，请用树状图或列表法求恰好选到男生、女生各一人的概率．

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9、如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．

(1)、求证：EF＝BC；

(2)、若∠B＝62°，∠ACB＝24°，求∠FGC的度数．

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10、（1）计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + | 1 - \sqrt{3} | - 2 \sin 60^{°} + {(π - 2023)}^{0} - \sqrt{8}$ ．
（2）先化简代数式 $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 4} \div (1 + \frac{1}{a - 2})$ ，再从 $2, - 2, 1, - 1$ 四个数中选择一个数代入求值．

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11、勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接 $E G$ ， $D G$ ；若正方形 $A B C D$ 与 $E F G H$ 的边长之比为 $\sqrt{5} : 1$ ，则 $\cos ∠ D G E$ 等于

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12、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (m, 0) ， B (1, 0)$ ，其中 $- 3 < m < - 2$ ．结合图象给出下列结论：
① $a b < 0$ ；② $a + b = 3$ ；③当 $x > - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大；
④当 $x > 0 ， y > - 3$ ；
⑤关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的一个根是 $1$ ，另一个根是 $- \frac{3}{a}$ ．
其中正确结论的个数为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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13、如图，在 $△ A O B$ 中， $A O = A B$ ，点B在x轴上，点C，点D分别为 $O A 、 O B$ 的中点，连接 $C D$ ，点E为 $C D$ 上任意一点，连接 $A E 、 B E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过点A，若 $△ A B E$ 的面积为4，则k的值为（　　）

A、 $- 4$ B、 $- 8$ C、 $- 6$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x - a > 2 \\ b - 2 x > 0 \end{array}$ 的解集为 $- 1 < x < 1$ ，则 ${(a + b)}^{2025}$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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15、在函数 $y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x}$ 中，自变量x的取值范围是(　　)

A、 $x \geq - 3$ B、 $x > - 3$ C、 $x \geq - 3$ 且 $x \neq 0$ D、 $x \neq 0$ 且 $x \neq - 3$

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16、下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{4} = a^{7}$ B、 $a^{12} \div a^{4} = a^{3}$ C、 $a^{4} \cdot a^{3} = a^{7}$ D、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{6}$

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17、在平面直角坐标系中，对于直线 $y = p$ （ $p$ 为常数）与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 为常数且 $a \neq 0$ ），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定：
I．若有2个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”；
II．若有1个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相切”；
III．若没有公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相离”．
请你根据该约定，解决下列问题：

(1)、若直线 $y = p$ 与抛物线 $y = - x^{2} + 2 h x - h^{2} + 2025$ 的位置关系为“水平相交”，求 $p$ 的取值范围；

(2)、若直线 $y = a$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 为常数且 $a \neq 0$ ）的位置关系为“水平相切”，请判断 $x$ 轴与该抛物线的位置关系；

(3)、若直线 $y = - a, x$ 轴，直线 $y = a$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 为常数且 $a > 0$ ）的位置关系均为“水平相交”，记它们的“水平弦”分别为 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ．
①求 $l_{3}$ 的长度的取值范围；
②请问是否存在实数 $k$ ，使得 $l_{1}, k \cdot l_{2}, l_{3}$ 这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为 $1 : 1 : 2$ ？若存在，求出 $k$ 的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注： $k \cdot l_{2}$ 表示一条长度等于 $l_{2}$ 的 $k$ 倍的线段）

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18、如图1，已知 $⊙ O$ 内切于四边形 $A B C D$ ，与 $A B ， B C ， C D ， A D$ 分别相切于点 $E ， F ， G ， H$ ．

(1)、求证： $A D + B C = A B + C D$ ；

(2)、如图2，连接 $H F$ ，与 $E G$ 交于点 $P$ ，若 $H F ⊥ E G$ ，求证： $∠ A + ∠ C = 180 °$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $A D = 1 ， B C = 4 ， A B = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径 $r$ ．

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19、如图，已知： $△ A B C$ ，尺规作图得四边形 $D B E C$ ．作图步骤如下：
①分别以 $B$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 $P ， Q$ ；
②作直线 $P Q$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ；
③以 $B$ 为圆心， $B D$ 的长为半径作弧，交直线 $P Q$ 于点 $E$ ，连接 $C E ， B E$ ．

(1)、根据尺规作图，请直接判断四边形 $D B E C$ 的形状，并说明判断依据；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $A C = 16$ ，求四边形 $D B E C$ 的面积．

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20、第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．

(1)、每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？

(2)、该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？

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