相关试卷

1、（1）计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + | 1 - \sqrt{3} | - 2 \sin 60^{°} + {(π - 2023)}^{0} - \sqrt{8}$ ．
（2）先化简代数式 $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 4} \div (1 + \frac{1}{a - 2})$ ，再从 $2, - 2, 1, - 1$ 四个数中选择一个数代入求值．

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2、勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图“中，连接 $E G$ ， $D G$ ；若正方形 $A B C D$ 与 $E F G H$ 的边长之比为 $\sqrt{5} : 1$ ，则 $\cos ∠ D G E$ 等于

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3、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (m, 0) ， B (1, 0)$ ，其中 $- 3 < m < - 2$ ．结合图象给出下列结论：
① $a b < 0$ ；② $a + b = 3$ ；③当 $x > - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大；
④当 $x > 0 ， y > - 3$ ；
⑤关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的一个根是 $1$ ，另一个根是 $- \frac{3}{a}$ ．
其中正确结论的个数为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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4、如图，在 $△ A O B$ 中， $A O = A B$ ，点B在x轴上，点C，点D分别为 $O A 、 O B$ 的中点，连接 $C D$ ，点E为 $C D$ 上任意一点，连接 $A E 、 B E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过点A，若 $△ A B E$ 的面积为4，则k的值为（　　）

A、 $- 4$ B、 $- 8$ C、 $- 6$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x - a > 2 \\ b - 2 x > 0 \end{array}$ 的解集为 $- 1 < x < 1$ ，则 ${(a + b)}^{2025}$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6、在函数 $y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x}$ 中，自变量x的取值范围是(　　)

A、 $x \geq - 3$ B、 $x > - 3$ C、 $x \geq - 3$ 且 $x \neq 0$ D、 $x \neq 0$ 且 $x \neq - 3$

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7、下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{4} = a^{7}$ B、 $a^{12} \div a^{4} = a^{3}$ C、 $a^{4} \cdot a^{3} = a^{7}$ D、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{6}$

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8、在平面直角坐标系中，对于直线 $y = p$ （ $p$ 为常数）与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 为常数且 $a \neq 0$ ），根据它们的公共点个数，可分为三种类型，我们不妨约定：
I．若有2个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相交”，连接两个公共点的线段称为“水平弦”；
II．若有1个公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相切”；
III．若没有公共点，称该直线与抛物线的位置关系为“水平相离”．
请你根据该约定，解决下列问题：

(1)、若直线 $y = p$ 与抛物线 $y = - x^{2} + 2 h x - h^{2} + 2025$ 的位置关系为“水平相交”，求 $p$ 的取值范围；

(2)、若直线 $y = a$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 为常数且 $a \neq 0$ ）的位置关系为“水平相切”，请判断 $x$ 轴与该抛物线的位置关系；

(3)、若直线 $y = - a, x$ 轴，直线 $y = a$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 为常数且 $a > 0$ ）的位置关系均为“水平相交”，记它们的“水平弦”分别为 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ．
①求 $l_{3}$ 的长度的取值范围；
②请问是否存在实数 $k$ ，使得 $l_{1}, k \cdot l_{2}, l_{3}$ 这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为 $1 : 1 : 2$ ？若存在，求出 $k$ 的值和此时二次函数的最小值；若不存在，请说明理由．（注： $k \cdot l_{2}$ 表示一条长度等于 $l_{2}$ 的 $k$ 倍的线段）

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9、如图1，已知 $⊙ O$ 内切于四边形 $A B C D$ ，与 $A B ， B C ， C D ， A D$ 分别相切于点 $E ， F ， G ， H$ ．

(1)、求证： $A D + B C = A B + C D$ ；

(2)、如图2，连接 $H F$ ，与 $E G$ 交于点 $P$ ，若 $H F ⊥ E G$ ，求证： $∠ A + ∠ C = 180 °$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $A D = 1 ， B C = 4 ， A B = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径 $r$ ．

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10、如图，已知： $△ A B C$ ，尺规作图得四边形 $D B E C$ ．作图步骤如下：
①分别以 $B$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 $P ， Q$ ；
②作直线 $P Q$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ；
③以 $B$ 为圆心， $B D$ 的长为半径作弧，交直线 $P Q$ 于点 $E$ ，连接 $C E ， B E$ ．

(1)、根据尺规作图，请直接判断四边形 $D B E C$ 的形状，并说明判断依据；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $A C = 16$ ，求四边形 $D B E C$ 的面积．

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11、第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．

(1)、每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？

(2)、该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？

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12、近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为 $B C$ ，遮阳篷 $A B$ 长为5.5米，与水平线的夹角为 $16 °$ ．

(1)、求点 $A$ 到墙面 $B C$ 的距离；

(2)、当太阳光线 $A D$ 与水平线 $C E$ 的夹角为 $45 °$ 时，量得 $C D$ 为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高 $B C$ 的长．（参考数据： $sin 16 ° \approx 0.28$ ， $cos 16 ° \approx 0.96$ ， $tan 16 ° \approx 0.29$ ）

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13、为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成 $A ， B ， C ， D$ 四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表：
组别
A
B
C
D
成绩 $x$ （单位：分）
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
人数
$m$
94
$n$
16
【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： $m =$ ________， $n =$ ________；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________；
【应用数据】
（4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品．

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14、如图，点 $A ， B ， C ， D$ 在同一条直线上，点 $E$ ， $F$ 分别在直线 $A B$ 的两侧，且 $A E = B F$ ， $∠ A = ∠ B$ ， $∠ D C E = ∠ C D F$ ．

(1)、求证： $△ A C E ≌ △ B D F$ ；

(2)、若 $A B = 16$ ， $A C = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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15、计算： ${(2025 - π)}^{0} + |\sqrt{3} - 2| + tan 60 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8, P$ 是 $B C$ 边上与点 $B$ 不重合的任意点．记 $P A =$ $m, D$ 点到 $P A$ 的距离为 $n$ （即 $D E = n$ ），则 $n$ 与 $m$ 之间的函数关系式为（写出自变量 $m$ 的取值范围）．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点，连接 $B E$ ， $D E$ ．若 $∠ A E D = ∠ B E C$ ， $D E = 4$ ，则 $B E$ 的长为．

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18、已知圆锥的底面半径为4，母线长为12，将它的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为．

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19、若代数式 $\frac{3}{\sqrt{x - 2025}}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围为．

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20、甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下： $s_{甲}^{2} = 2.5$ ， $s_{乙}^{2} = 4.4$ ， $s_{丙}^{2} = 0.8$ ．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是．

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组别	A	B	C	D
成绩 $x$ （单位：分）	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$
人数	$m$	94	$n$	16