相关试卷

1、北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角 $∠ A O B$ 的度数近似为（）

A、 $90 °$ B、 $72 °$ C、 $54 °$ D、 $20 °$

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2、如图， $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ， $A D$ 经过圆心 $O$ ，若 $∠ D = 30 °$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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3、如图，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转后得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，且点 $B^{'}$ 恰好落在边 $A B$ 上，若 $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ A^{'} C A =$ （）

A、 $35 °$ B、 $70 °$ C、 $20 °$ D、 $40 °$

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4、将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段．
【阅读材料】
“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以 $1 m / s$ 的速度自西向东运动，乙木块以 $2 m / s$ 的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以 $2 m / s$ 的速度自东向西运动，乙木块立即变为 $1 m / s$ 的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换．
【情境呈现】
如图1，在一个长 $20 dm$ 的轨道上，两个小铁球分别以 $4 dm / s$ 、 $1 dm / s$ 的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道．
【情境转化】
为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点 $P$ 从原点 $O$ 点出发，沿正方向以4个单位长度 $/ s$ 的速度匀速运动，点 $Q$ 从 $A$ 点出发，沿负方向以1个单位长度 $/ s$ 的速度匀速运动．若点运动到线段 $O A$ 之外，则认为小球离开轨道．已知 $O A = 20$ ．
【问题解决】
若两小球（ $P$ 、 $Q$ 两点）同时出发， $P$ 、 $Q$ 两点在轨道上的运动时间分别为 $t_{P}$ 、 $t_{Q}$ 秒，请回答以下问题：

(1)、如图3，两小球第一次相遇时， $t_{P} = t_{Q} =$ _____．根据计算，我们可以得知 $Q$ 点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间， $t_{P} = t_{Q} =$ _____．

(2)、如图4，在 $A$ 点所在位置放置挡板，则 $Q$ 点代表的小球在到达 $A$ 点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时 $t_{P}$ 的值．

(3)、在（2）的条件下，将轨道沿射线 $A O$ 的方向进行延长，设延长至 $B$ 点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即 $O B$ 的长度为何值时），才能使得 $t_{Q} = 3 t_{P}$ ？

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5、类比用字母表示数，我们用“ $°$ ”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若 $a ° b = b ° a$ ，那么这种运算满足交换律；若存在元素 $e$ ，满足 $a ° e = e ° a = a$ ，则称 $e$ 为“ $°$ 运算”下的单位元；若两个元素经过“ $°$ 运算”后得到单位元，则这两个元素互为“ $°$ 运算”下的逆元．
例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元．

(1)、在有理数范围内，乘法运算下的单位元是_____， $- 5$ 在乘法运算下的逆元是_____；

(2)、若 $a$ ， $b$ 表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为： $a * b = 2 a b - a - b + 1$ ，例如，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ，则 $a * b = 2 \times 2 \times 3 - 2 - 3 + 1 = 8$ ，
①“*运算”是否满足交换律_____．（填“是”或“否”）；
②求出“*运算”下的单位元；
③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由．

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6、每年春节都是相聚的重要时刻，2025年春节即将到来，在深圳工作学习的人们开始进行春节的规划．七（1）班的 $m$ 位同学接受了“春节团聚调查”，他们需要从“高铁回家”、“飞机回家”、“自驾回家”及“留深”这四种情况中选择一种，最终的调查结果被绘制成如下所示的两幅不完整的统计图．

(1)、根据图中信息求出 $m =$ _____； $n =$ _____．

(2)、请把条形统计图补充完整；

(3)、“高铁回家”对应的扇形统计图圆心角大小为_____°；

(4)、该校学生人数共2700人，请根据七（1）班调查结果估计有多少名学生选择“回家”（包含高铁回家”、“飞机回家”及“自驾回家”）？

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7、如何解关于

x

的一元一次方程

2 (x + 2) + 1 = 7

呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路．

小明的思路

去括号，得： $2 x + 4 + 1 = 7$

移项，合并同类项，得： $2 x = 2$

方程的两边都除以2，得： $x = 1$

小暗的思路

移项，合并同类项，得： $2 (x + 2) = 6$ ……第1步

方程的两边都除以2，得： $x + 2 = 3$ ……第2步

移项，合并同类项，得： $x = 1$ ……第3步

经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程 $2 m + 1 = 7$ ，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得 $m = 3$ ，这刚好对应了 $x + 2 = 3$ ．小暗认为，方程 $2 (x + 2) + 1 = 7$ 中的“ $(x + 2)$ ”就相当于方程 $2 m + 1 = 7$ 中的“ $m$ ”．

请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可：

(1)、解方程

\frac{4 x - 6}{3} + 1 = \frac{4 x - 6}{4}

(2)、若

x = 1

是关于

x

的方程

a x - 7 = 8 x - a

的解，请你求出关于

y

的方程

a (2 y + 9) - 7 = 8 (2 y + 9) - a

的解．

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8、（1）计算 $- 1^{2024} \times |1 - 3| + 2 \div {(\frac{1}{2})}^{3}$ ；
（2）先化简，再求值： $3 a^{2} + 6 a b - 2 (a^{2} + 3 a b - 3 b)$ ，其中 $|a + 2| + {(b - 3)}^{2} = 0$

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9、如图，已知平面上的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，请按照要求进行尺规作图，或通过尺规作图解决问题（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)、画出直线 $A D$ 、射线 $A B$ 、线段 $C D$ ；

(2)、在线段 $C D$ 上找到一点 $E$ ，使得 $D E = D A$

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10、莱布尼兹是德国著名数学家，他曾提出“莱布尼兹三角形”，如下图所示．在“莱布尼兹三角形”中，每一个数字都是其左下方和右下方数字之和．例如第4行第2个数是 $\frac{1}{12}$ ，而 $\frac{1}{12} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$ ，由此，我们可以推断，第10行第3个数是．
$\begin{matrix} \frac{1}{1} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{20} & \frac{1}{30} & \frac{1}{20} & \frac{1}{5} \end{matrix}$

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11、已知一个多边形的内角和为 $900 °$ ，则这个多边形共有条对角线．

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12、明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？”其大意为：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两，若每人分9两，则差8两．则有多少个人？有多少两银子？根据以上内容，下列陈述正确的有．
①设有 $x$ 个人，则可列方程： $7 x - 4 = 9 x + 8$ ；②设有 $x$ 个人，则可列方程： $7 x + 4 = 9 x - 8$ ；
③设有 $y$ 两银子，则可列方程： $\frac{y + 4}{7} = \frac{y - 8}{9}$ ；④设有 $y$ 两银子，则可列方程： $\frac{y - 4}{7} = \frac{y + 8}{9}$

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13、若代数式 $2 m x - x + 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，则 $m =$ ．

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14、 $- \frac{1}{2025}$ 的相反数是．

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15、如图， $O$ 是直线 $A B$ 上一点，射线 $O P$ 、 $O Q$ 分别从 $O A$ 、 $O B$ 同时出发，以每秒 $45 °$ 和每秒 $5 °$ 的速度绕点 $O$ 顺时针旋转，设旋转时间为 $t$ 秒．当 $∠ P O Q = 100 °$ 时， $t$ 的值可能为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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16、如图，将长方形纸片 $A B C D$ 的 $∠ C$ 沿着 $G F$ 折叠（点 $F$ 在线段 $B C$ 上，且不与 $B$ ， $C$ 重合），使点 $C$ 落在长方形内部点 $E$ 处，若 $∠ B F H : ∠ E F H = 1 : 2$ ， $∠ G F C = x$ ，则 $∠ E F H$ 的度数是（）

A、 $120 ° - \frac{3}{2} x$ B、 $120 ° - \frac{4}{3} x$ C、 $90 ° - \frac{3}{2} x$ D、 $90 ° - \frac{4}{3} x$

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17、根据等式的基本性质，下列变形错误的是（）

A、若 $a = b$ ，则 $1 - a = 1 - b$ B、若 $\frac{a}{c^{2} - 1} = \frac{b}{c^{2} - 1}$ ，则 $a = b$ C、若 $a = b$ ，则 $a c = b c$ D、若 $c^{2} a = c^{2} b$ ，则 $a = b$

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18、某学校的数学兴趣小组希望了解他们所在地区65岁以上老年人的健康状况，其中4名同学用不同的方式收集了数据，则相对最合理的方式是（）

A、李同学在附近的公园里调查了100名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 B、刘同学在该地区最大的医院中调查了100名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 C、欧阳同学在所居住小区内调查了50名65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数 D、杨同学借助派出所的户籍网随机调查了该地区的 $10 %$ 的65岁以上老年人，统计他们一年内生病次数

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19、下列4个现象中，可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有（）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上
②工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上
③小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物
④把弯曲的河道改直，可以缩短航程

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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20、由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（）

A、 B、 C、 D、

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