相关试卷

1、若方程组 $\{\begin{array}{l} a x + b y = c \\ m x + n y = p \end{array}$ 解为 $\{\begin{array}{l} x = 6 \\ y = 3 \end{array}$ 则方程组 $\{\begin{array}{l} 3 a (x + y) + b (y - 1) = 5 c \\ 3 m (x + y) + n (y - 1) = 5 p \end{array}$ 的解为.

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2、如图，现给出下列条件：① $∠ 1 = ∠ B$ ， ② $∠ 3 = ∠ 4$ ， ③ $∠ 2 = ∠ 5$ ， ④ $∠ B C D + ∠ D = 180^{\circ}$ .其中能够得到 $A B / / C D$ 的条件有：.

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3、已知 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$ 是二元一次方程 $x + k y = 7$ 的一个解，则 $k$ 的值为.

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4、若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形，1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形，它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形 $A$ 的面积为（）

A、1296 B、1444 C、2304 D、20736

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5、如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（）
① ②

A、 $a^{2} + a b = a (a + b)$ B、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ D、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

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6、下列选项是二元一次方程的是（）

A、 $x - 3 y$ B、 $x y + y = - 1$ C、 $x + y = z - 2$ D、 $\frac{x + 1}{2} - y = 1$

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7、下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $6 a^{2} b^{4} = 3 a b^{2} \cdot 2 a b^{2}$ B、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ C、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 2 x (x - 2) + 1$ D、 $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} a y = \frac{1}{2} a (1 - y)$

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8、如图，直线 $a$ 截直线 $b, c$ ，下列说法正确的是（）

A、 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是内错角 B、 $∠ 1$ 与 $∠ 3$ 是同旁内角 C、 $∠ 2$ 与 $∠ 3$ 是同位角 D、 $∠ 3$ 与 $∠ 4$ 是同旁内角

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9、“天链”卫星是中国的跟踪与数据中继卫星，2025年3月26日天链二号04星发射升空，在地球同步轨道飞行 $1 c m$ 约需要0.0000032秒.数0.0000032用科学记数法表示为（）

A、 $0.32 \times 10^{- 5}$ B、 $3.2 \times 10^{- 7}$ C、 $3.2 \times 10^{- 6}$ D、 $32 \times 10^{- 5}$

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10、四边形 ABCD 为正方形，以点 A 为旋转中心，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 $α (0^{°} < α < 9 0^{°})$ ，得到线段 AE，连接线段 DE，BE.

(1)、如图 1，当旋转角 $α = 3 0^{°}$ 时， $∠ D E B$ 的度数为度；

(2)、如图 2，当旋转角 $α$ 由小变大时， $∠ D E B$ 的度数（填 “变大”，“变小”，或 “不变”），请说明理由；

(3)、如图 3，延长 DE，过点 B 作 $B F ⊥ D E$ 的延长线于点 F，连接 CF. 求线段 DE 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；

(4)、如图 4，正方形的边长为 2，在（3）的条件下，当旋转角 $α$ 从 $0^{°}$ 旋转到 $9 0^{°}$ ，请直接写出线段 CF 扫过的面积.

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11、希腊数学家帕普斯借助反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象成功将锐角三等分，作法如下.
1. 如图 1，建立平面直角坐标系，将已知 $∠ A O B$ 的顶点与原点重合，角的一边 OB与 x 轴正方向重合；
2. 绘制函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象，图象与已知角的另一边 OA交于点 P；
3. 以P为圆心，以 2OP 为半径作弧，交函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象于点 R；
4. 分别过点 P和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线交于点 M；
5. 连接 OM，得到 $∠ M O B$ ，这时 $∠ M O B = \frac{1}{3} ∠ A O B$ .

(1)、【探究】小明在探究该方法时发现，先以 P，R，M 为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点 Q 与 O，M 共线后，即可推导出 $∠ M O B = \frac{1}{3} ∠ A O B$ . 请你根据以上思路帮助小明完成证明过程.
证明：如图 1，分别过点 P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线，两线交于点 Q，
$∵ P M ∥ Q R$ ， $P Q ∥ M R$ ， $∠ P M R = 9 0^{°}$ ，
$∴$ 四边形PQRM为矩形.
设点 P( $a$ ， $\frac{1}{a}$ $) ， R ($ $b$ ， $\frac{1}{b}$ )，则 M ( $b$ ， $\frac{1}{a}$ $) ， Q$ （），
于是直线 OM 的解析式为 $y =$ ，
$∵ a \cdot \frac{1}{a b} = \frac{1}{b}$ ，
$∴$ 点 Q 在直线 OM 上；
连接 PR 交 OM 于点 N，则 N 为 PR 和 QM 的中点，
$∴ P N = M N = P O$ ，
$∴ ∠ P O N = ∠ P N O = 2 ∠ P M N$ ，
又 $∴ P M ∥ O B$ ，
$∴ ∠ M O B = ∠ M O B$ ，
$∴ ∠ P O M = 2$ ，
$∴ ∠ M O B = \frac{1}{3} ∠ A O B$ .

(2)、【拓展】小明进一步发现 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 也可以将任意锐角三等分，请证明.

(3)、【应用】如图2. 在平面直角坐标系中， $∠ A O B$ 的顶点与原点重合，角的一边OB与 $x$ 轴正方向重合，另一边与函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ）交于点A，以A为圆心，2OA为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段AC中点，连接OP，其中 $O P = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ O A C = 12 0^{°}$ ，那么 $k =$ .

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12、在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠.白银分割是指：若存在两点C、D将线段AB分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系： $\frac{较长线段长度}{原线段总长度} = \frac{较短线段长度}{较长线段长度}$ ，则称线段AB被点C、D白银分割，点C、D叫做线段AB的白银分割点，该比值叫做白银比.
根据分割形态差异，可分为两类经典情形：
对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割；
邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割.

(1)、以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比. 如图1，设 $A B = 1$ ， $A C = B D = x$ . 求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）.

(2)、如图3，点C为线段AB靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段AN靠近点A的白银分割点P. 不写作法，保留作图痕迹.

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13、如图，在 $△ O A B$ 中， $O A = O B$ ， $⊙ O$ 过AB的中点C.

(1)、求证：AB为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的直径为8cm， $A B = 10 c m$ ，求OA的长.

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14、王老师准备购买 A、B 两种型号的圆珠笔. 已知 A 型圆珠笔单价是 B 型圆珠笔单价的 1.5 倍. 用 60 元钱单独购买 B 型圆珠笔可比单独购买 A 型圆珠笔多买 5 支.

(1)、求 A、B 两种型号的圆珠笔单价各是多少；

(2)、王老师想购买 A、B 两种型号的圆珠笔共计 15 支，要求 A、B 两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过 80 元. 求 A 型圆珠笔最多可购买多少支？

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15、某校举办了跑操比赛，进入决赛的班级有一班，二班，三班，评委将从服装统一，口号响亮，跑操整齐三个方面进行打分，每项满分10 分.

(1)、比赛开始前，三个班的学生代表用抽签确定比赛顺序，抽取后不放回，已知每个签除号码外其他都相同，那么三班第二个进场的概率为；

(2)、三个班级的得分如下表. 若将服装统一、口号响亮、跑操整齐这三项得分依次按20%，30%，50%的比例计算各班比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？写出必要的过程.
项目
得分
一班
二班
三班
服装统一
9.5
8
8.5
口号响亮
9
7
7
跑操整齐
7
9
8

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16、

(1)、计算： $202 5^{0} - t a n 3 0^{0} + \frac{1}{\sqrt{3}} + | \sqrt{2} - 1 |$ ；

(2)、解方程： ${\begin{array}{l} x - y = 1, \\ 2 x + y = - 4 . \end{array}$

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17、如图，已知 $△ A B C$ 中三边长分别为 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $B C = \sqrt{7}$ ，动点D在边BC上运动，过点D作 $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为E、F，则EF的最小值为.

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18、如图，矩形护栏ABCD中，竖直方向加装4条平行且等距的钢条（任意相邻钢条间距相等，钢条粗细不计），连接AC交第一根钢条于点E，连接DE并延长交AB于点F，若 $A B = 60 c m$ ，则AF的长度为cm.

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19、如图，已知 $△ A B C ≅ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $∠ A = 5 0^{°}$ ， $∠ C^{'} = 10 0^{°}$ ，则 $∠ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的度数为度.

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20、已知2是一元二次方程 $x^{2} + a x + 2 = 0$ 的一个根，则该方程的另一个根是.

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项目	得分
项目	一班	二班	三班
服装统一	9.5	8	8.5
口号响亮	9	7	7
跑操整齐	7	9	8