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1、计算：

(1)、已知 $2^{a} = 3$ ， ${log}_{4} 3 = b$ ，求 $2^{a - 2 b}$ 的值；

(2)、已知 $sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，求 $sin (\frac{7 π}{6} + 2 α)$ 的值；

(3)、若正实数 $x, y, z$ 同时满足下列三个方程 ${log}_{2} (\frac{x}{y z}) = \frac{1}{2}$ ， ${log}_{2} (\frac{y}{x z}) = \frac{1}{3}$ ， ${log}_{2} (\frac{z}{x y}) = \frac{1}{4}$ ，求 ${log}_{2} (x^{2} y z)$ 的值.

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2、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，若M，N分别是边 $B C$ ， $C D$ 所在直线上的点，且满足 $\vec{B M} = k \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = m \vec{C D}$ ，其中k， $m \in (- 1, 1)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A D}$ .

(1)、当 $k = \frac{1}{2}$ ， $m = \frac{1}{3}$ 时，用向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 分别表示向量 $\vec{A M}$ 和 $\vec{A N}$ ；

(2)、当 $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $k = m$ 时，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围.

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3、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $P, Q$ 分别为边 $A B, D A$ 上的点，若 $∠ P C Q = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A P Q$ 的面积的最大值为．

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足： $f (x + 2) = f (x + 1) - f (x)$ ， $f (1) = 2$ ， $f (8) = 5$ ，则 $f (2025) =$ .

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5、已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) - a$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，则a的取值范围为.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{|sin x|} + \frac{1}{|cos x|}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{|x|} + 1, x < 1 \\ x^{2} - 4 x + 6, x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (x) = m$ 有四个不等的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 有最小值2 B、m的取值范围是 $2 < m \leq 3$ C、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 4$ D、方程 $f (f (x)) = \frac{5}{2}$ 有4个不同的解

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8、若正实数p，q满足 $p + 2 q = 3$ ，则（）

A、pq的最小值是 $\frac{9}{8}$ B、 $\sqrt{p} + \sqrt{2 q}$ 的最大值是 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ 的最小值是 $\frac{2 \sqrt{2} + 3}{3}$ D、 $p^{2} + 8 q^{2}$ 的最小值是6

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9、在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图象的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{1 - x} + |x - 1|$ ，使得不等式 $f (2 m + 1) < f (m + 2)$ 成立的实数m的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, 1)$ B、 $(- 1, \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$

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10、下列不等关系正确的是（）

A、 $2^{ln 3} < 3^{ln 2}$ B、 ${log}_{2} 3 < {log}_{4} 5$ C、 ${0.3}^{0.2} < {0.2}^{0.3}$ D、 ${log}_{0.3} 0.2 < {log}_{2} 3$

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11、已知 $tan α = 2$ ，则 $cos 2 α + 3 {sin}^{2} α =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $- \frac{9}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ 且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、要得到函数 $y = - s i n 2 x$ 的图象，只需要将函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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14、函数 $f (x) = \sqrt{x} + 3^{x} - 8$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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15、若命题“ $\exists x \in [0, 2]$ ， $x^{2} \geq m$ ”是真命题，则（）

A、 $m \leq 0$ B、 $m \leq 4$ C、 $m > 0$ D、 $m > 4$

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16、已知集合 $A = {x | (x - 2) (x + 4) < 0}$ ， $B = {x | 2^{x} < 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- 4, 3)$

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17、已知函数 $f (x) = (x + 1) ln x - a x + 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2 n + 1} < \frac{1}{2} ln (n + 1)$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立．

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18、（每小问均须用数字作答）在 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 中选出4个数字组成一个四位数

(1)、可以组成多少个没有重复数字的四位数？

(2)、可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

(3)、若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？

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19、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若对于任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) > 2 (e - 1) x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ ．

(1)、求 $f^{'} (x)$ ；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(3)、若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = f (x) - 2$ 相切于点 $(x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ $(x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ ，求k的值．

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