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1、古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 $2 \sin 18 °$ 表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（）

A、 $\sin 102 ° + \sqrt{3} \cos 102 °$ B、 $2 \cos 78 ° + 2 \cos 42 °$ C、 $\frac{2 \tan 9 ° \cos 18 °}{1 - \tan^{2} 9 °}$ D、 $\frac{\sin 36 °}{\sin 108 °}$

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2、若 $a, b, c \in R$ ，给出下列命题中，错误的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b, c > d$ ，则 $b - c > a - d$ C、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b, c > 0$ ，则 $a c > b c$

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3、若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $(x - 1) (y - 4) = 4$ ，且 $x + \frac{y}{4} \geq a^{2} - 3 a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\{a | - 1 < a < 4\}$ B、 $\{a | - 1 \leq a \leq 4\}$ C、 $\{a | - 4 \leq a \leq 1\}$ D、 $\{a | - 4 < a < 1\}$

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω \in N^{*})$ 有一条对称轴为 $x = \frac{2 π}{3}$ ，当 $ω$ 取最小值时，关于x的方程 $f (x) = a$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $[1, 2)$

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5、函数 $f (x) = (e^{2 x} + 1) \frac{\sin x}{e^{x}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} - x - \frac{1}{4}, x \leq 1 \\ \log_{a} x - 1, x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{2}, 1]$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$

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7、已知 $\sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{4 π}{3} + α) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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8、若 $a = {0.1}^{0.2}$ ， $b = {0.1}^{0.1}$ ， $c = \log_{0.2} 0.1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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9、“ $x < 2$ ”是“ $| x | < 2$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、若集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $C = {1, 2, 3}$ ，则集合 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$

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11、已知函数 $f (x) = x |x - 2 a| + a^{2} - 4 a (x \in R)$ 有3个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使不等式 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} - \frac{λ}{x_{3}} < 0$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (2^{x} + 1) - a x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 为定义域上的偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，对 $\forall x \in (- \infty, 1)$ ，不等式 $f (x) > {log}_{2} (m \cdot 2^{x} - 3 m)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、已知一个半径为 $3.2$ 米的水轮如图所示，水轮圆心 $O$ 距离水面 $1.6$ 米，且按顺时针方向匀速转动，每 $45$ 秒转动一圈.如果以水轮上点 $P$ 从水面浮现时（图中点 $P_{0}$ 位置）开始计时，记点 $P$ 距离水面的高度 $h (m)$ 关于时间 $t (s)$ 的函数解析式为 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .

(1)、在水轮转动的一周内，求点 $P$ 距离水面高度 $h (m)$ 关于时间 $t (s)$ 的函数解析式；

(2)、在水轮转动的一周内，求点 $P$ 在水面下方的时间段.

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14、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} sin x, \sqrt{2} sin x + cos x), \vec{b} = (cos x, cos x - \sqrt{2} sin x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及其单调递减区间；

(2)、若函数 $y = f (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 上有且仅有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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15、已知集合 $A = \{x ||x - \frac{1}{2}| \leq \frac{3}{2}\}$ ， $B = \{x |3 - 2 m \leq x \leq 2 m + 1\}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、从① $∁_{R} A \subseteq ∁_{R} B$ ；② $B \cap (∁_{R} A) = \emptyset$ ；③ $A \cup B = A$ 中任选一个作为已知条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、求解下列各题：

(1)、计算： ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} \times 8^{0.25} + 2^{{log}_{4} 9} + {log}_{2} 9 \times {log}_{3} 4$ ；

(2)、已知 ${sin}^{4} θ + {cos}^{4} θ = \frac{5}{9}$ ，求 $cos 4 θ$ 的值.

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17、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{m}{x} - 1, x \geq 2 \\ |2^{- x} - m|, x < 2 \end{array}$ ，若对任意 $x_{1} \in [2, + \infty)$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty, 2)$ ，使得 $f (x_{2}) = f (x_{1})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{sin x - b}{cos x - \sqrt{2}} + a x$ 在 $R$ 上既有最大值 $M$ ，又有最小值 $m$ .若 $M + m = 4$ ，则 $a =$ ， $b =$ .

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19、与向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ 共线的一个单位向量的坐标是.

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20、杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧 $A D$ 的长度是 $l_{1}$ ，弧 $B C$ 的长度是 $l_{2}$ ，几何图形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，扇形 $B O C$ 的面积为 $S_{2}$ .若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 3$ ，则 $\frac{l_{1}}{l_{2}} =$ .

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