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1、已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE＝GE；
（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝ $\frac{1}{2}$ ∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE＝ $\frac{3}{5}$ ， AK＝ $\sqrt{10}$ ，求CN的长．

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2、如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A^' ．
（1）若点A^'落在矩形的对角线OB上时，OA^'的长=　　；
（2）若点A^'落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（3）若点A^'落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

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3、化简求值： $\frac{x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} \div (1 - \frac{2}{x + 1})$ ，其中x是不等式组 $\{\begin{cases} 2 x - 7 < 3 (x - 1) ① \\ \frac{4}{3} x + 3 \leq 1 - \frac{2}{3} x ② \end{cases}$ 的整数解．

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4、已知：正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转至正方形 $A E F G$ ，连接 $C E 、 D F$ .
(1)如图，求证： $C E = D F$ ；
(2)如图，延长 $C B$ 交 $E F$ 于 $M$ ，延长 $F G$ 交 $C D$ 于 $N$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出如图中的四个角，使写出的每一个角的大小都等于旋转角.

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5、若二次根式 $\sqrt{1 + 2 x}$ 有意义，则x的取值范围为．

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6、分解因式： $m x^{2} - 6 m x + 9 m =$ ．

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7、如图， $⊙ O$ 的半径为1 $c m$ ，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，则图中阴影部分图形的面积和为 $c m^{2}$ （结果保留 $π$ ）．

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8、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为格点
（Ⅰ） $A B$ 的长等于
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C，使得 $C A = C B$ 且 $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{3}{2}$ ，并简要说明点C的位置是如何找到的

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9、如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= $\sqrt{3}$ ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．

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10、初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（　　）

A、（6，3） B、（6，4） C、（7，4） D、（8，4）

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11、下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A、 B、 C、 D、

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12、直线y=3x+1不经过的象限是（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、根据《天津市北大港湿地自然保护总体规划（2017﹣2025）》，2018年将建立养殖业退出补偿机制，生态补水78000000m³ ．将78000000用科学记数法表示应为（　　）

A、780×10⁵ B、78×10⁶ C、7.8×10⁷ D、0.78×10⁸

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14、如图，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 边上的中线 $A D$ 平移到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位置，已知 $△ A B C$ 的面积为 $9$ ，阴影部分三角形的面积为 $4$ ．若 $A A^{'} = 1$ ，则 $A^{'} D$ 等于（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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15、碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（）

A、0.5×10^-9米 B、5×10^-8米 C、5×10^-9米 D、5×10^-10米

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16、如图1，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，延长 $A O$ 交 $B C$ 于 $E$ 点，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ， $D$ 是劣弧 $\overset{⏜}{A C}$ 上一点，连接 $A D$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $M$ ，连接 $C D$ ．

(1)、求证： $∠ A C B = ∠ C D M$ ；

(2)、若 $B M = 5$ ， $A E = C M = 3$ ，求 $C D$ 的长；

(3)、如图2，连接 $B D$ 分别交 $A F$ 和 $A C$ 于点 $G$ 和点 $H$ ，若 $∠ D A G = ∠ D G A$ ，且 $G H = n$ ，请用含 $n$ 的值表示 $\frac{1}{B G} + \frac{1}{D G}$ 的值（不需要写出过程）．

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17、等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与 $x$ 轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”．

(1)、已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与 $x$ 轴的两个交点坐标为 $(- 3, 0)$ ， $(1, 0)$ ，则此抛物线的顶点是_____；

(2)、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 是“美丽抛物线”，顶点 $M (1, 2)$ ，与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，在 $x$ 轴上方的抛物线上找一点 $P$ ，且 $tan ∠ P B A = \frac{3}{2}$ ，请求出点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点 $Q$ 是平面内一点，是否存在点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块． $A$ ， $E$ ， $B$ 三点在一条直线上，且 $∠ A =$ $∠ B = ∠ D E C = 60^{\circ}$ ， $B E = A D$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ B E C$ ；

(2)、若 $D E = \sqrt{3}$ 且 $E$ 点在弧 $C D$ 所在的圆上，在劣弧 $C D$ 上找一点 $P$ ，使得四边形 $C P D E$ 的周长最大，并求出周长的最大值．

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19、如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡 $A B$ 长 $60 \sqrt{2} m$ ，坡角 $∠ B A C$ 为 $45 °$ ， $B C ⊥ A C$ ，现计划在斜坡中点 $D$ 处挖去部分，修建一个平行于水平地面 $C A$ 的平台 $D E$ 和一条新的斜坡 $B E$ ．（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到 $0.1$ ）

(1)、若改造后的新的斜坡 $B E$ 的坡比为 $\sqrt{3} : 1$ ，求平台 $D E$ 的长是多少米？

(2)、一幢建筑物 $G H$ 距离 $A$ 点 $30 m$ 远（即 $A G = 30 m$ ），小亮在 $D$ 点测得建筑物顶部 $H$ 的仰角 $∠ H D M$ 为 $30 °$ ．点 $B$ ， $C$ ， $A$ ， $G$ ， $H$ ， $D$ ， $E$ 在同一个平面内，点 $C$ ， $A$ ， $G$ 在同一条直线上，且 $H G ⊥ C G$ ，问建筑物 $G H$ 高为多少米？

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20、某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台．为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每台降价100元，每月可多售出10台．已知笔记本电脑的成本为每台3800元．

(1)、当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价；

(2)、当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？

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