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1、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $f (x + \frac{3}{4})$ 为偶函数且 $f (1) = 3$ ，则 $f (2023) + f (2024) =$ （）

A、3 B、 $- 5$ C、 $- 3$ D、0

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2、已知 $z \in C$ ，则“ $z$ 为纯虚数”是“ $z + \bar{z} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $2 A D = 2 D C = 2 C B = A B = 6$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点， $B F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ．

(1)、令 $\vec{A E} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B F}$ ；

(2)、求线段 $A M$ 的长．

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4、抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点 $A$ 处测得其顶点 $P$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ､点 $B$ 处测得其顶点 $P$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，若 $|A B| = 55$ 米，且 $∠ O A B = 60^{\circ}$ ，则解放碑的高度 $O P =$ 米．

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{π}{3}, b = 2, a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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6、《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = 6 \sqrt{3}$ ，请运用上述公式判断下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ B、 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $2 C = A + B$ C、 $△ A B C$ 外接圆的直径为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $△ A B C$ 的中线 $C D$ 的长为 $3 \sqrt{2}$

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7、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, m)$ ，则（）

A、 $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} |_{min} = 2$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角可能为 $180^{\circ}$ D、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 不可能垂直

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8、如图，在海面上有两个观测点 $B, D$ ，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天 $10 : 00$ 观察到某航船在C处，此时测得 $∠ C B D = 45 °$ ， 5分钟后该船行驶至A处，此时测得 $∠ A B C = 30 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ ，则该船行驶的距离 $A C =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ km B、 $2 \sqrt{2}$ km C、 $\sqrt{6}$ km D、 $2 \sqrt{6}$ km

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9、已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (2, - 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b} - \vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{5}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{5}{2})$ C、 $(- 3 ， - 2)$ D、 $(- 3 \sqrt{13} ， - 2 \sqrt{13})$

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10、已知等边 $△ A B C$ 的边长为2，点 $D$ 、 $E$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，若 $\vec{D E} = 2 \vec{E F}$ ，则 $\vec{E F} \cdot \vec{A F}$ =（）

A、1 B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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11、 $\vec{a} = (8 + \frac{1}{2} x, x)$ ， $\vec{b} = (x + 1,2) ($ 其中 $x > 0)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则x的值为 $($ 　　 $)$

A、8 B、4 C、2 D、0

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n (2 < m < n)$ ，使得 $M_{2}, M_{m}, M_{n}$ 成等差数列？若存在，求出 $m, n$ 的值，若不存在，说明理由；

(3)、记 $c_{n} = {(\sqrt{2})}^{a_{n}} - 1$ ，证明： $\frac{2}{c_{1}^{2}} + \frac{2^{2}}{c_{2}^{2}} + \frac{2^{3}}{c_{3}^{2}} + \dots + \frac{2^{n}}{c_{n}^{2}} < 3$ ．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{2} = - 35$ ， $a_{4} + a_{5} = - 17$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 中，点 $(b_{n}, T_{n})$ 在直线 $y = - x + 1$ 上，其中 $T_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值；

(2)、若 $c_{n} = (a_{n} + 20) b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $G_{n}$ ；

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $S_{7} = 49$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，求 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{20}$ .

(3)、求 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{9} a_{10}}$ .

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15、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + a_{3} = 5$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} a_{n + 1} > 0$ ，数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使得 $S_{n} > 62$ 的最小 $n$ 值.

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16、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{5} + a_{6} = a_{11}$ ， $a_{5} - a_{3} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{5}$ 和 $a_{8}$ 的等差中项.

(3)、求 $S_{15} - S_{10}$ .

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = a_{n + 1} - 2 n - 2$ .将数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{2 n - 1\}$ 里面的数照从小到大的规则混合排列，得到一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，则新的数列的前100项的和为.

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18、在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n} = \frac{n^{2} + n}{2} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{1} = 1$ B、 $a_{n} = \frac{n + 1}{2^{n}}$ C、 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 D、 $S_{n} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}$

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d (d \neq 0)$ ， $a_{4}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{6}$ 的等比中项，则（）

A、 $a_{10} = 0$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、 $S_{19} = 0$ D、 $S_{n}$ 有最大值为 $S_{9}$

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