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1、根据下述事实，写出一个含有量词的命题是.
$1^{3} = 1^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} = {(1 + 2)}^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = {(1 + 2 + 3)}^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = {(1 + 2 + 3 + 4)}^{2}$
……

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2、设集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 = 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} = 1\}$ ，则 $A \cup B =$ .

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3、关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x + a = 0$ 恰有一个实数根的充分不必要条件可以是（）

A、 $a < 2$ B、 $a = 1$ 或 $a = - 1$ C、 $a = 0$ 或 $a = \pm 1$ D、 $a = 0$

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4、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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5、已知集合 $A = \{x \in N | 1 \leq x \leq 2\}$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $0 \notin A$ B、 $2 \in A$ C、 $\{x | 1 < x < 2\} \subseteq A$ D、 $\{2\} \subseteq A$

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6、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（）

A、大于10g； B、小于10g； C、等于10g； D、不能判断大小．

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7、若 $x > 0$ ，则 $f (x) = 2 - x - \frac{4}{x}$ （）

A、最大值为 $- 2$ B、最小值为 $- 2$ C、最大值为6 D、最小值为6

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8、已知集合 $A = \{x |1 < x \leq a\}$ ， $B = \{x |1 < x \leq 2\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a < 2$ D、 $a \leq 2$

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9、下列命题为真命题的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分不必要条件 B、“ $A \cup B = A$ ”是“ $B \subseteq A$ ”的必要不充分条件 C、“ $a = 1$ ”是“ $a^{2} = 1$ ”的充要条件 D、“ $x > 1$ ”是“ $x < 2$ ”的既不充分也不必要条件

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10、做一个体积为 $8 m^{3}$ ，高为 $2 m$ 的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（）

A、 $4 m^{2}$ B、 $8 m^{2}$ C、 $16 m^{2}$ D、 $24 m^{2}$

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11、下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$

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12、命题“ $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 < 0$ B、 $\exists x \notin R$ ， $x + 1 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x + 1 \geq 0$

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13、设集合 $A = {3, 5, 6, 8}$ ， $B = {4, 5, 7, 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${3, 4, 5, 6, 7, 8}$ B、 ${5, 8}$ C、 ${6, 8}$ D、 ${8}$

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14、若函数 $y = f (x)$ 对定义域上的每一个值 $x_{1}$ ，在其定义域上都存在唯一的 $x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 1$ 成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.

(1)、判断函数 $g (x) = sin x$ 在 $R$ 上是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = 2^{x - 1}$ 在定义域 $[0, m]$ 上为“依赖函数”，求实数 $m$ 的值；

(3)、当 $a \geq \frac{4}{3}$ 时，已知函数 $h (x) = {(x - a)}^{2}$ 在定义域 $[\frac{4}{3}, 4]$ 上为“依赖函数”，若存在实数 $x \in [\frac{4}{3}, 4]$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $h (x) \geq - t^{2} + s - 2 t + 4$ 都成立，求实数 $s$ 的最大值.

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15、已知函数 $f (x) = \ln x - x + 1, g (x) = e^{x} - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、当 $x \in [2, + \infty)$ 时，证明： $g (x) > 2 x (x - 1)$ .

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2, S_{n} + S_{n + 1} = 3 a_{n + 1} - 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为d_n的等差数列，求数列 $\{\frac{1}{d_{n}}\}$ 的前n项和T_n

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17、已知函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 在 $[α, \frac{π}{3}]$ 与 $[α + \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上的值域均为 $[t, \sqrt{3}]$ ，则 $α$ 的取值范围为， $t =$ .

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18、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为非零实数，则下列说法一定正确的有（）

A、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ 成等差数列 B、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，则 $\frac{1}{a}$ ， $\frac{1}{b}$ ， $\frac{1}{c}$ 成等比数列 C、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则 $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 成等比数列 D、若 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ 成等比数列，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列

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19、已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{2}{x} + \ln x$ ，若 $f (a) + f (\frac{1}{b}) = 0$ ，则 $3 b + \frac{1}{a}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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20、为了更好地解决就业问题，在国家鼓励政策下，某摊主 $2024$ 年 $4$ 月初向银行借了免息贷款 $8000$ 元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 $20 %$ ，每月底扣除生活费 $800$ 元，余款作为资金全部用于下月再进货.如此继续，该摊主预计在 $2025$ 年 $3$ 月底还贷款，至此，他的收入约为（）（取 ${(1.2)}^{11} \approx 7.5$ ， ${(1.2)}^{12} \approx 9$ ）

A、 $24000$ 元 B、 $26000$ 元 C、 $30000$ 元 D、 $32000$ 元

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