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1、某校11月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且每人选择相互独立，则（）

A、三人都选择长跑的概率为 $\frac{1}{27}$ B、三人不都选择长跑的概率为 $\frac{8}{27}$ C、至少有两人选择跳绳的概率为 $\frac{7}{27}$ D、在三人选择互不相同的前提下，丙同学选择跳远的概率为 $\frac{2}{3}$

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2、2023年3月30日，西南农业科技博览会暨云南一东南亚五金机电博览会在昆明滇池国际会展中心开幕．展览面积6万平米，参展企业1500余家，采购商8万人次．假设该博览会供应的五金机电中，各品牌的市场占有率和优质品率的信息如下表所示．在该会场中任意购买一品类五金机电，用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 分别表示买到的五金机电为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则（）
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质品率
80%
90%
70%

A、 $P (A_{2} + A_{3}) = P (A_{1})$ B、 $P (A_{3} B) = 90 %$ C、 $P (B) = 81 %$ D、 $P (A_{2} |B) = 30 %$

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3、在 ${(x + \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（）项.

A、 $3$ B、 $4$ C、2或3 D、3或4

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4、 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x^{2}})}^{5} (x + 2)$ 的展开式中常数项为（）

A、 $- 10$ B、 $- 5$ C、5 D、10

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5、某高校要在假期安排甲、乙等5名大学生到 $A, B, C$ 三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲不能去 $A$ 公司，则不同的安排方式有（）

A、 $28$ 种 B、 $50$ 种 C、 $56$ 种 D、 $100$ 种

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6、由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有（）

A、 ${(2A}_{5}^{4}$ － $A_{4}^{3})$ 个 B、 ${(2A}_{5}^{4} -$ $A_{5}^{3})$ 个 C、 ${2A}_{5}^{4}$ 个 D、 ${5A}_{5}^{4}$ 个

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7、一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是（）

A、5 B、6 C、11 D、30

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8、某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每人只报一项，每项最多有1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有（）

A、24种 B、48种 C、64种 D、81种

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9、乘积 $(a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4}) (c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} + c_{5})$ 的展开式中项数为（）

A、38 B、39 C、40 D、41

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10、已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，顶点 $A (0, - 2)$ ，点M是双曲线C上一个动点，且 $|{|M F_{1}|}^{2} - {|M F_{2}|}^{2}|$ 的最小值是 $8 \sqrt{5}$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标.

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11、在多面体 $A B C D E$ 中，已知 $A B = A C = 4$ ， $E A = E B = D A = D C = 2 \sqrt{3}$ ， $D E = \frac{1}{2} B C$ 且 $D E / / B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值．

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12、已知a，b，c是 $△ A B C$ 中三内角A，B， $C$ 所对的边，设 $△ A B C$ 面积为 $S$ ， $\frac{S}{b^{2} + c^{2} - 4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $a = 2$ ．
（1）求角A的值；
（2）若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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13、某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$ ，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值；

(3)、若落在 $[50, 60)$ 中的样本数据平均数是52，方差是6；落在 $[60, 70)$ 中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数 $\bar{x}$ 和方差 $σ^{2}$ .

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14、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知 $a sin A + sin B = sin C$ ， $tan C = \frac{4}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径r的最大值为.

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15、某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是．

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16、已知 $A$ 、 $B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右两个顶点， $F$ 为右焦点， $M$ 、 $N$ 是椭圆上异于 $A$ 、 $B$ 的任意两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、直线 $M A$ 、 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则直线 $M A$ 、 $N A$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ C、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则直线 $O M$ 、 $O N$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ D、若三角形 $O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则直线 $O M$ 、 $O N$ 的斜率之积为 $\frac{3}{4}$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交右支于 $A$ 、 $B$ 点，且 $\vec{A B} = 3 \vec{A F_{2}}$ ，若 $∠ F_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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18、若 $\forall a$ 、 $b \in R$ 都有 $a^{2} - a b + 1 = 0$ 恒成立，则（）

A、 $|a + b| \geq 2$ B、 $|a + b| \leq 3$ C、 $a^{2} + b^{2} \leq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 5$

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19、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{n} + 2 T_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、 $\frac{1011}{1013}$ B、 $\frac{1012}{1013}$ C、 $\frac{4049}{4051}$ D、 $\frac{4050}{4051}$

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20、若 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ - \cos θ} = 2$ ，则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ} =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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品牌	甲	乙	其他
市场占有率	50%	30%	20%
优质品率	80%	90%	70%