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1、①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ，且 $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ ，则 $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ ；
②设 $a > 0$ ， k是大于1的正整数，若函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in [0, a]$ ，均有 $f (x) \geq f (\frac{x}{k})$ 成立，且 $lim_{x \to 0} f (x) = 0$ ，则称函数 $f (x)$ 为区间 $[0, a]$ 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)、证明 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 不是区间 $[0, 3]$ 上的2阶无穷递降函数；

(2)、计算： $lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ ；

(3)、记 $f (t) = \frac{tan t \cdot {sin}^{2} t}{t^{3}}$ ， $t \in (0, \frac{π}{2})$ ；求证： $f (t) > 1$ .

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2、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - ln x + x - 2 a$ ， $a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x - 1$ 在 $x = - 1$ 处取得极值．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $x \in [- 2, 1]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最值．

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4、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = 2 x \ln 2 x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ ， $t > 0$ ，则 $\frac{\ln t}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值为

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5、已知 $n \in N^{*}$ ，满足 $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + \dots + 2^{n} C_{n}^{n} = 243$ ，则 ${(x^{2} + x + y)}^{n}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为.

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6、根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我省某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动的种数为，周一、周二都有专家参加调研活动的种数为.

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7、关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + ln x$ ，下列说法正确的是（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正整数k，使得 $f (x) > k x$ 恒成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$

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8、A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A、若A、B两人站在一起有24种方法 B、若A、B不相邻共有72种方法 C、若A在B左边有60种排法 D、若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法

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9、使函数 $f (x) = x e^{x} - x - ln x - a$ 在 $(0, e]$ 上存在零点的实数a的范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $[e, + \infty)$

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10、已知函数 $f (x) = x - \ln |x|$ ，则 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11、下列求导不正确的是（）

A、 $(3 x^{2} + \cos x)^{'} = 6 x - \sin x$ B、 $(x \cdot e^{x})^{'} = (x + 1) e^{x}$ C、 $(2 \sin 2 x)^{'} = 2 \cos 2 x$ D、 $(\frac{\sin x}{x})^{'} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}}$

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12、已知 $C_{18}^{x + 2} = C_{18}^{x - 4}$ ，则x的取值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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13、已知函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - k x$ 为偶函数， $g (x) = e^{2 x} + m e^{x}$

(1)、求实数k的值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $g (x_{1}) > f (2 x_{2})$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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14、知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 、 $Q$ 分别为对角线 $B D$ 、 $C D_{1}$ 上的点，且 $\frac{C Q}{Q D_{1}} = \frac{B P}{P D} = \frac{3}{5}$

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $A_{1} D_{1} D A$ ；

(2)、若 $R$ 是 $A B$ 上的点， $\frac{A R}{A B}$ 的值为多少时，能使平面 $P Q R //$ 平面 $A_{1} D_{1} D A$ ？请给出证明.

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15、测量河对岸某一高层建筑物 $A B$ 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 和 $D$ ，如图，测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $C D = 30 m$ ，并在 $C$ 处测得建筑物顶端 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，求建筑物 $A B$ 的高度.

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16、已知 $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 是两个单位向量，且| $\overset{⃑}{e_{1}}$ ＋ $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝ $\sqrt{3}$ ，则| $\overset{⃑}{e_{1}}$ － $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝.

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17、下列选项中哪些是正确的（）

A、 $i^{1} + i^{2} + i^{3} + i^{4} + \dots \dots .. + i^{2023} = - 1$ （ $i$ 为虚数单位） B、用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台 C、在△ABC中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则△ABC是钝角三角形 D、当 $x < \frac{3}{2}$ 时，向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ 的夹角为钝角

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18、 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ （ $θ \in R$ ， i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）

A、对任意的 $θ \in R$ ， $|e^{i θ}| = 1$ B、 $e^{i}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C、 $e^{iπ} - 1 = 0$ D、 $e^{i α} e^{i β} = e^{i (α + β)}$

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19、已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = - \log_{2} x$ ．若函数 $F (x) = f (x) - \sin π x$ 在区间 $[- 1, m]$ 上有9个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[3, 3.5)$ B、 $(3, 3.5]$ C、 $(4.5, 5]$ D、 $[4.5, 5)$

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20、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{x}{2} + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、 $\frac{7}{2}$

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