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1、已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球 $O$ 的球面上，若圆锥的母线与球 $O$ 的半径之比为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥与球 $O$ 的体积之比等于（）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{32}$ C、 $\frac{9}{32}$ D、 $\frac{3}{8}$

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2、已知点 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ ，当点 $P$ 的纵坐标是 $\frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 到坐标原点的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $1$

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3、已知函数 $f (x) = x^{α} - 1$ （ $α > 0$ ），实数 $m$ ， $n$ 满足 $f (m) + f (n) = 4$ ， $f (m) f (n) = 3$ ，则 $f (m n) =$ （）

A、 $1$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $12$

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4、某次测试成绩 $X ~ N (105, 225)$ ，记成绩 $120$ 分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .

A、 $31.73 %$ B、 $15.87 %$ C、 $4.55 %$ D、 $2.28 %$

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5、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {y |y = 3 x + 1, x > 0}$ ，则（）

A、 $- 1 \in A \cap B$ B、 $0 \in A \cap B$ C、 $1 \in A \cap B$ D、 $2 \in A \cap B$

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6、复数 $\frac{- 1 + i}{i}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、已知向量 $\vec{a} = (0, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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8、北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 $A$ 和路线 $B$ .公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 $A$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；前一天选择路线 $B$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .已知居民第一天选择路线 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择路线 $B$ 的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 $A$ 散步的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及期望；

(2)、若某居民每天都去公园散步，记第 $n$ 天选择路线 $A$ 的概率为 $P_{n}$ .
（i）请写出 $P_{n + 1}$ 与 $P_{n} (n \in N^{*})$ 的递推关系；
（ii）设 $M_{n} = \frac{16}{|15 P_{n} - 9|} - 4$ ，求证： $\frac{n}{4} - 1 < \frac{M_{1}}{M_{2}} + \frac{M_{2}}{M_{3}} + \dots + \frac{M_{n}}{M_{n + 1}} < \frac{n}{4} (n \in N^{*})$ .

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9、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3}, \sqrt{6})$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $A (1, 0)$ ，过点 $Q (1, 2)$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点 $B, C$ ，在线段 $B C$ 上取异于点 $B, C$ 的点 $H$ .
（i）当 $H$ 为 $B C$ 中点时， $△ A Q H$ 的面积为7，求直线 $l$ 的斜率；
（ii）直线 $A B, A H, A C$ 分别与 $y$ 轴交于点 $D, E, F$ ，若 $E$ 为 $D F$ 中点，证明：点 $H$ 恒在一条定直线上.

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10、已知函数 $f (x) = (a - 1) ln x + x + \frac{a}{x}, a \in R$ ，若 $f (x)$ 只有唯一的极值且为极小值3.

(1)、求 $a$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x - \frac{2}{x}, x \in (0, e)$ ，若不等式 $\frac{m}{x^{2} (1 - g (x))} - 2 e^{n - 1} \geq 0, m \neq 0, n > 0$ 恒成立，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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11、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 \sqrt{3} cos \frac{A}{2} cos \frac{B + C}{2} = 1 + 2 {cos}^{2} \frac{A}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $sin C (1 + cos B) = sin B (2 - cos C)$ ，求 $\frac{c}{b}$ 的值.

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P B = P D = 4, ∠ P D A = \frac{π}{3}, M$ 是 $C D$ 的中点， $A M = \sqrt{5}$ .

(1)、证明：平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $N$ 是棱 $P B$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，求直线 $C D$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值.

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13、已知函数 $f (x) = a^{x} - {log}_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 与函数 $g (x) = ln ({log}_{a} x) - x ln a (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 有两个不同交点，则 $a$ 的取值范围是.（其中 $e$ 为自然对数的底数）

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14、成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有种.

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15、请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 $f (x) =$ .① $f (2 - x) = f (x)$ ；② $f (x)$ 至少有两个零点；③ $f (x)$ 有最小值.

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16、数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E : x^{2} + {(y - |x|)}^{2} = 1$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C, D$ 两点， $P$ 是 $E$ 上一个动点，则下列说法正确的有（）

A、 $|A B| < |C D|$ B、曲线 $E$ 恰好经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、 $△ P A B$ 面积的最大值为1 D、满足 $|P C| + |P D| = 2 \sqrt{3}$ 的点 $P$ 有且只有2个

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17、泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数，其概率分布列为 $P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数， $λ$ 是泊松分布的均值.当二项分布的 $n$ 很大 $(n \geq 2000)$ 而 $p$ 很小 $(p \leq 0.05)$ 时，泊松分布可作为二项分布的近似，且 $λ$ 取二项分布的期望.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用 $0.05 J / m^{2}$ 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0005，设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为 $Y, P (Y = k)$ 表示经该种紫外线照射后产生 $k$ 个嘧啶二体的概率.已知 $Y$ 近似服从泊松分布，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，则下列说法正确的有（）

A、 $λ = 5$ B、 $P (Y \geq 2) = 1 - 5 e^{- 5}$ C、大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率为 $e^{- 5}$ D、经该种紫外线照射后产生10个嘧啶二体的概率最大

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18、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2, A B = A D = 2 \sqrt{3}, E$ 是侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 的中心， $F$ 是底面 $A B C D$ 的中心，点 $M$ 在线段 $A D$ 上运动，则下面选项正确的是（）

A、直线 $E F$ 与 $A_{1} B$ 平行 B、四面体 $M - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、点 $E$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、异面直线 $E F$ 与 $A_{1} C$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$

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19、直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为 $r$ 的小球，全部放进棱长为 $8 + 4 \sqrt{6}$ 的正四面体盒子中，则 $r$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 sin 2 x, x \neq \frac{π}{3} + k π, k \in Z, \\ tan x, x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z, \end{matrix}$ 若方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $(0, m]$ 上恰有4个不同实根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4 π}{3}, \frac{13 π}{6})$ B、 $(\frac{4 π}{3}, \frac{13 π}{6}]$ C、 $[\frac{13 π}{6}, \frac{7 π}{3})$ D、 $(\frac{13 π}{6}, \frac{7 π}{3}]$

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