浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷日期：2024-04-24 考试类型：期中考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1 - x)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{2}{3}$

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2. 下列四个命题中正确的是（）

A、每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B、所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D、以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

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3. 已知复数 $z = (1 - 2 i) (1 + i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $- 1$ D、1

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4. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且满足 $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $2 \vec{b}$ D、 $- 2 \vec{b}$

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5. 已知 $△ A B C$ 的三条边长分别为a，b，c，且 $(a + b) : (b + c) : (a + c) = 12 : 13 : 15$ ，则此三角形的最大角与最小角之和为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知平面直角坐标系下， $△ A B C$ 的三个顶点坐标为： $A (1, 1)$ ， $B (- 1, 2)$ ， $C (3, 5)$ ，若 $△ A B C$ 斜二侧画法下的直观图是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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7. 如图所示，在 $▱ A B C D$ 中，点E为线段 $A D$ 上的中点，点F为线段 $C D$ 上靠近点C的三等分点， $B E$ ， $B F$ 分别与 $A C$ 交于R，T两点．则（）

A、 $\vec{F T} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $\vec{B D} = \frac{3}{5} \vec{B E} + \frac{4}{5} \vec{B F}$ C、 $\vec{A B} = 3 \vec{B R} + 4 \vec{D T}$ D、 $\vec{A D} = 3 \vec{A B} - 4 \vec{E R}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边 $B C$ 上的中线、高线、角平分线长分别是 $m_{a}$ ， $h_{a}$ ， $l_{a}$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}$ B、 $l_{a} = \frac{2 b c c o s \frac{A}{2}}{b + c}$ C、 $h_{a} = \frac{\sqrt{(b + c)^{2} - a^{2}} \cdot \sqrt{a^{2} - (b - c)^{2}}}{2 a}$ D、 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{2 (a^{2} + b^{2}) c^{2} + {(a^{2} - b^{2})}^{2} - c^{4}}}{4}$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）

9. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 均不为0，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $\bar{z_{1} - z_{2}} = \bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}$ B、 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} | + | z_{2} |$ C、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ D、 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）

A、若 $a = c c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 B、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、若 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B} = \frac{c}{c o s C}$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形

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11. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的取值范围是 $[0, \frac{π}{6}]$ B、 $|\vec{b}|$ 的取值范围是 $[1, 3]$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围是 $[2, 4]$ D、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围是 $[3, 5]$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知 $z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z^{4} =$

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13. 已知球O的体积为 $36 π$ ，则球O的表面积为，球O的内接正四面体的体积为.

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14. 勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形 $A B C$ 边长为2，点P为圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，且满足： $S_{△ A B P} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值为．

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$

(1)、若复数 $z_{1}$ 是方程 $z^{2} + a \cdot z + b = 0$ 的一个复数根，求实数a，b的值；

(2)、若复数 $z_{2}$ 满足 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = 1 - \frac{1}{z_{1}}$ ，求 $| z_{2} |$ .

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16. 如图所示，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为1， $B C ⊥ C C_{1}$ ，点P为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点．

(1)、若点 $P$ 恰为线段 $B_{1} C_{1}$ 上靠近点 $C_{1}$ 的三等分点，求三棱锥 $P - A_{1} B C$ 和三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积之比；

(2)、求 $P A_{1} + P C$ 的最小值及此时 $B_{1} P$ 的值．

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17. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|3 \vec{a} - \vec{b}| = 3$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} + 3 \vec{b}|$ 的值；

(2)、已知 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{33}$ ，求 $λ$ 的值．

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18. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且满足 $b = 2$ ， $\sqrt{3} b \sin C + b \cos C = a$ ．

(1)、求B；

(2)、若D，E为线段 $B C$ 上的两个动点，且满足 $∠ D A E = 60 °$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，求 $S_{△ A D E}$ 的取值范围．

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19. 对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，定义“ $F_{θ}$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F_{θ} (\vec{a_{k}}) = (x_{k} \cos θ - y_{k} \sin θ, x_{k} \sin θ + y_{k} \cos θ)$ ， $(0 < θ < π)$

(1)、若向量 $\vec{a_{1}} = (2, 1)$ ， $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a_{2}}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 不平行， $\vec{O A^{'}} = F_{θ} (\vec{O A})$ ， $\vec{O B^{'}} = F_{θ} (\vec{O B})$ ，证明： $S_{△ O A B} = S_{△ O A^{'} B^{'}}$ ；

(3)、若向量 $\vec{a_{4}} = \vec{a_{1}}$ ，求 $θ$ ．

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