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1、函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, φ \in [0, 2 π))$ 的部分图象如图所示，则 $f (2023) =$ .

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2、（多选）下列命题正确的是（　　）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ . B、“ $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ”是“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”的必要不充分条件 C、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都为非零向量，则使 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ ＋ $\frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ ＝ $\vec{0}$ 成立的条件是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向共线 D、若 $\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$

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3、下列三角式中，值为1的是（）

A、 $4 \sin 15 ° \cos 15 °$ B、 $2 (\cos^{2} \frac{π}{6} - \sin^{2} \frac{π}{6})$ C、 $\frac{2 \tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{π}{6}}$

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4、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小值与最大值之和为0 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增

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5、如图所示的 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 上靠近 $B$ 的三等分点，点 $E$ 是线段 $A B$ 的中点，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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6、关于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$

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7、已知将函数 $f (x) = \cos 4 x$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后关于原点对称，则 $φ$ 的值可能为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{4}$

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8、为了得到函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $g (x) = sin 2 x$ 的图象( )

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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9、 $\sin 20 ° \cos 10 ° + \sin 10 ° \sin 70 °$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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10、（1）已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；
（2）已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π, \tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}, \cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $β$ 的值.

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11、某中学 $400$ 名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了 $100$ 名学生，记录他们的分数，将数据分成 $7$ 组： $[20,30),[30,40), \dots,[80 .90]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图求出分数大于 $70$ 的频率与频数；

(2)、根据频率分布直方图求样本中 $75 %$ 分位数；

(3)、已知样本中男生与女生的比例是 $3 ： 1$ ，男生样本的均值为 $70$ ，方差为 $10$ ，女生样本的均值为 $80$ ，方差为 $14$ ，请计算样本的均值与方差.

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12、在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos^{2} C - \cos^{2} A = \sqrt{2} \sin A \sin B - \sin^{2} B$ .

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、已知 $a + b = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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13、如图所示，在 $△ O B C$ 中，点 $A$ 是 $B C$ 的中点，点 $D$ 是靠近点 $B$ 将 $O B$ 分成 $2 : 1$ 的一个三等分点， $D C$ 和 $O A$ 交于点 $E$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ 、 $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若 $\vec{O E} = λ \vec{O A}$ ，求 $λ$ 的值.

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14、从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
$[75, 85)$
$[85, 95)$
$[95, 105)$
$[105, 115)$
$[115, 125)$
频数
6
26
38
22
8

(1)、根据上表补全所示的频率分布直方图；

(2)、估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；

(3)、根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, - 3)$ .

(1)、若向量 $\vec{c} ∥ \vec{a}$ ，且 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{5}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若向量 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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16、根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形 $C D E$ 按上述操作作图后，得如图所示的图形.若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x + y =$ .

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17、已知点A（3，5）、B（4，7）、C（1，x）三点共线，则实数x的值是．

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18、我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ ，则该“圭田”的底边长为．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列结论不正确的是（）

A、若 $\sin B > \sin C$ ，则 $b > c$ B、若 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $b \cos B - c \cos C = 0$ ，则 $△ A B C$ 一定为等腰三角形 D、若 $a = 4, b = 2 \sqrt{6}, A = \frac{π}{4}$ ，则三角形只有1解

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20、八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 $1$ 是八卦模型图，其平面图形记为图 $2$ 中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O H} = - \sqrt{2} \vec{O E}$ C、 $\vec{A H} \cdot \vec{H O} = \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ D、向量 $\vec{D E}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{A B}$

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质量指标值分组	$[75, 85)$	$[85, 95)$	$[95, 105)$	$[105, 115)$	$[115, 125)$
频数	6	26	38	22	8