甘肃省兰州市教育局第四片区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷日期：2024-05-13 考试类型：期中考试

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一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. $\cos 25^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 65^{\circ} \sin 20^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $\vec{a} = (3, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、1 C、 $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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3. 在四边形ABCD中，若 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，且 $| \vec{A B} - \vec{A D} | = | \vec{A B} + \vec{A D} |$ ，则该四边形一定是（）

A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、等腰梯形

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4. 经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2：3：6，取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人的人数为12，则n=（）

A、36 B、44 C、56 D、64

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5. 已知角 $θ$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\sin (2 θ - \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 如图所示，为了测量山高 $M N$ ，选择 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 作为测量基点，从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $∠ M A N = 60^{\circ}$ ， $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 45^{\circ}$ ， $∠ M A C = 75^{\circ}$ ，从 $C$ 点测得 $∠ M C A = 60^{\circ}$ ．已知山高 $B C = 500 m$ ，则山高 $M N$ （单位： $m$ ）为（　　）

A、 $750$ B、 $750 \sqrt{3}$ C、 $850$ D、 $850 \sqrt{3}$

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7. 设一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为10，方差为0.01，则数据 $10 x_{1}, 10 x_{2}, \dots, 10 x_{n}$ 的平均数和方差分别为（）

A、100，0.01 B、10，0.1 C、100，1 D、10，0.1

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8. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{6} \vec{O C} + \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，则 $△ A C P$ 与 $△ B C P$ 面积比为（）

A、5：6 B、1：4 C、2：3 D、1：2

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二、多项选择题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列化简正确的是（）

A、 $\cos 82^{\circ} \cos 22^{\circ} + \sin 82^{\circ} \sin 22^{\circ} = \frac{1}{2}$ B、 $\sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\tan 48^{\circ} + \tan 72^{\circ}}{1 - \tan 48^{\circ} \tan 72^{\circ}} = - \sqrt{3}$ D、 $\cos^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩
84
72
80
72
76
则下列结论不正确的是（）

A、这 $5$ 位同学成绩的众数是 $72$ B、这 $5$ 位同学成绩的平均数是 $76$ C、这 $5$ 位同学成绩的中位数是 $72$ D、这 $5$ 位同学成绩的第 $75$ 百分位数是 $76$

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11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 $1$ 是八卦模型图，其平面图形记为图 $2$ 中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O H} = - \sqrt{2} \vec{O E}$ C、 $\vec{A H} \cdot \vec{H O} = \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ D、向量 $\vec{D E}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{A B}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列结论不正确的是（）

A、若 $\sin B > \sin C$ ，则 $b > c$ B、若 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $b \cos B - c \cos C = 0$ ，则 $△ A B C$ 一定为等腰三角形 D、若 $a = 4, b = 2 \sqrt{6}, A = \frac{π}{4}$ ，则三角形只有1解

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三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ ，则该“圭田”的底边长为．

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14. 已知点A（3，5）、B（4，7）、C（1，x）三点共线，则实数x的值是．

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15. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $b \cos C + c \cos B = a \sin A$ ，则 $A =$ .

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16. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形 $C D E$ 按上述操作作图后，得如图所示的图形.若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x + y =$ .

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四、解答题：本题共6道题，共70分(第17题10分，其余各题12分)．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, - 3)$ .

(1)、若向量 $\vec{c} ∥ \vec{a}$ ，且 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{5}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若向量 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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18. 从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
$[75, 85)$
$[85, 95)$
$[95, 105)$
$[105, 115)$
$[115, 125)$
频数
6
26
38
22
8

(1)、根据上表补全所示的频率分布直方图；

(2)、估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；

(3)、根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

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19. 如图所示，在 $△ O B C$ 中，点 $A$ 是 $B C$ 的中点，点 $D$ 是靠近点 $B$ 将 $O B$ 分成 $2 : 1$ 的一个三等分点， $D C$ 和 $O A$ 交于点 $E$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ 、 $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若 $\vec{O E} = λ \vec{O A}$ ，求 $λ$ 的值.

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20. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos^{2} C - \cos^{2} A = \sqrt{2} \sin A \sin B - \sin^{2} B$ .

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、已知 $a + b = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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21. 某中学 $400$ 名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了 $100$ 名学生，记录他们的分数，将数据分成 $7$ 组： $[20,30),[30,40), \dots,[80 .90]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图求出分数大于 $70$ 的频率与频数；

(2)、根据频率分布直方图求样本中 $75 %$ 分位数；

(3)、已知样本中男生与女生的比例是 $3 ： 1$ ，男生样本的均值为 $70$ ，方差为 $10$ ，女生样本的均值为 $80$ ，方差为 $14$ ，请计算样本的均值与方差.

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22. （1）已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；
（2）已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π, \tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}, \cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $β$ 的值.

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质量指标值分组	$[75, 85)$	$[85, 95)$	$[95, 105)$	$[105, 115)$	$[115, 125)$
频数	6	26	38	22	8

学生	甲	乙	丙	丁	戊
成绩	84	72	80	72	76