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1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，点 $A (4, 0)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，满足 $| M A |^{2} + | M O |^{2} = 10$ ，则 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \sqrt{5} + 1]$ B、 $[\sqrt{5} - 1, \sqrt{5} + 1]$ C、 $(0, \sqrt{5} - 1]$ D、 $[\sqrt{5} + 1, + \infty)$

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2、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1}}{a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n + 1}} = \frac{n}{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{4050}}{a_{2}} =$ （）

A、4050 B、2025 C、4048 D、2024

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3、已知 $|z - 1| = |z - i| (z \neq 0)$ ，则在复平面内 $\frac{\bar{z} + z}{z}$ 所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中系数最大的项为（）

A、第3项 B、第4项 C、第5项 D、第6项

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5、已知平面向量 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，两个非零向量 $\vec{m} = x \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = (3 x - 2) \vec{a} - \vec{b}$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、1或 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$

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6、已知集合 $A = \{x ∣ x + 1 \leq 0\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} + x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ C、 $\{x ∣ x > - 2\}$ D、 ${x ∣ - 2 < x \leq - 1}$

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7、设O为坐标原点，定义非零向量 $\overset{⃑}{O M} = (a, b)$ 的“相伴函数”为 $f (x) = a \sin x + b \cos x (x \in R)$ ，向量 $\overset{⃑}{O M} = (a, b)$ 称为函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ 的“相伴向量”.

(1)、设函数 $h (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} - x) - \cos (\frac{π}{6} + x)$ ，求 $h (x)$ 的“相伴向量”；

(2)、记 $\overset{⃑}{O M} = (0, 2)$ 的“相伴函数”为 $f (x)$ ，若函数 $g (x) = f (x) + 2 \sqrt{3} |\sin x| - 1$ ， $x \in [0, 2 π]$ 与直线 $y = k$ 有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；

(3)、已知点 $M (a, b)$ 满足 $3 a^{2} - 4 a b + b^{2} < 0$ ，向量 $\overset{⃑}{O M}$ 的“相伴函数” $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值.当点M运动时，求 $\tan 2 x_{0}$ 的取值范围.

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8、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ A D$ ， $A C = A D = 7$ ， $A B = 3$ ．

(1)、若 $D B = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ A D B$ ，求 $B D$ ．

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9、已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）米．

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10、在 $△ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = \sqrt{3} : 4 : \sqrt{31}$ ，则 $A + B - C =$ .

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11、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ 为复数， $z_{1} \neq 0$ ．下列命题正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、若 $|z_{2}| = |z_{3}|$ ，则 $z_{2} = \pm z_{3}$ C、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ D、若 $\bar{z_{2}} = z_{3}$ ，则 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1} z_{3}|$

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12、四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（）

A、 $\overset{⃑}{A B} = 2 \overset{⃑}{M D}$ B、 $\overset{⃑}{D M} - \overset{⃑}{C B} = \overset{⃑}{A M}$ C、 $\overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{M C} = \overset{⃑}{M A}$ D、 $\overset{⃑}{A M} \cdot \overset{⃑}{B C} = 1$

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13、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (x, 3 x), \overset{⃑}{b} = (- 2 x, 1)$ ，若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为钝角，则x的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{6}) \cup (- \frac{1}{6}, 0) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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14、 $sin 102 ° cos 48 ° + cos 78 ° cos 138 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 b c sin 2 A = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径是1，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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16、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x + a$ ．
（1）写出函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值与最小值的和为 $\frac{3}{2}$ ，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集．

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 2), \vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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18、已知纯虚数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z| =$ ．

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19、中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = \sqrt{7} : 1 : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ B、若 $∠ A$ 的平分线与 $B C$ 交于 $D$ ，则 $A D$ 的长为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $A D$ 的长为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) = 5$

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20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 6$ ， B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、5 D、 $5 \sqrt{2}$

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