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1、某中学选派甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩
84
72
80
72
76
则下列结论不正确的是（）

A、这 $5$ 位同学成绩的众数是 $72$ B、这 $5$ 位同学成绩的平均数是 $76$ C、这 $5$ 位同学成绩的中位数是 $72$ D、这 $5$ 位同学成绩的第 $75$ 百分位数是 $76$

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2、下列化简正确的是（）

A、 $\cos 82^{\circ} \cos 22^{\circ} + \sin 82^{\circ} \sin 22^{\circ} = \frac{1}{2}$ B、 $\sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\tan 48^{\circ} + \tan 72^{\circ}}{1 - \tan 48^{\circ} \tan 72^{\circ}} = - \sqrt{3}$ D、 $\cos^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{6} \vec{O C} + \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，则 $△ A C P$ 与 $△ B C P$ 面积比为（）

A、5：6 B、1：4 C、2：3 D、1：2

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4、设一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为10，方差为0.01，则数据 $10 x_{1}, 10 x_{2}, \dots, 10 x_{n}$ 的平均数和方差分别为（）

A、100，0.01 B、10，0.1 C、100，1 D、10，0.1

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5、如图所示，为了测量山高 $M N$ ，选择 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 作为测量基点，从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $∠ M A N = 60^{\circ}$ ， $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 45^{\circ}$ ， $∠ M A C = 75^{\circ}$ ，从 $C$ 点测得 $∠ M C A = 60^{\circ}$ ．已知山高 $B C = 500 m$ ，则山高 $M N$ （单位： $m$ ）为（　　）

A、 $750$ B、 $750 \sqrt{3}$ C、 $850$ D、 $850 \sqrt{3}$

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6、经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2：3：6，取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人的人数为12，则n=（）

A、36 B、44 C、56 D、64

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7、设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $\vec{a} = (3, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、1 C、 $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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8、 $\cos 25^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 65^{\circ} \sin 20^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 9$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 6 \cdot 3^{n}$ ， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 为等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ ；

(3)、若 $b_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{2 n}{S_{n} - n}, n 为奇数, \\ {(- 1)}^{\frac{n}{2} + 1} \cdot \frac{2 \cdot 3^{n + 1}}{S_{n}}, n 为偶数 \end{array}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{4 n} < 1$ ．
参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ .

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10、已知函数 $f (x) = (a + 2) e^{x} + a e^{- x} - 2 x$ （ $a \in R$ ）．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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11、如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为正方形， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $E D_{1} / /$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、若侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 为等腰梯形， $E D_{1} : D_{1} D : D E = \sqrt{13} : 3 : 2$ .
（i）证明：平面 $D C C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（ii）求平面 $B D C_{1}$ 和平面 $A D D_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值．

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过 $F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O A$ 交 $C$ 的准线于点 $D$ ．

(1)、当 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 时，求 $|A B|$ ；

(2)、求直线 $B D$ 的斜率；

(3)、若 $O$ ， $F$ ， $B$ ， $D$ 四点共圆，求该圆的半径．

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13、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \sin B = b \sin 2 A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 6$ ， $2 \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 15$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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14、已知函数 $f (x) = |\ln x|$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $A$ ， $B$ 两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为 $H$ ，两切线分别交 $y$ 轴于 $C$ ， $D$ 两点，设△ $C D H$ 面积为 $S$ ，若 $S < λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为．

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15、围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有 $6$ 枚黑色棋子和 $2$ 枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的概率为．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a} (x \neq 0)$ 满足 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ ，则实数 $a =$ ．

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17、“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线 $C :$ ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = {(4 x y)}^{2}$ ，其形态极像“四叶草”，设 $O$ 为坐标原点， $P$ 为 $C$ 上异于原点的一点，过点 $P$ 作直线 $O P$ 的垂线交坐标轴于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $C$ 有4条对称轴 B、 $C$ 围成的面积大于 $4 π$ C、 $|A B| = 4$ D、 $△ O A B$ 的面积最大值为4

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18、已知函数 $f (x) = \cos (\sin x) - \sin (\cos x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 图象关于 $y$ 轴对称 B、 $2 π$ 是 $y = f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 单调递减 D、 $f (x)$ 图象恒在 $x$ 轴的上方

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19、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $P (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ B、 $P (B | A) = \frac{1}{2}$ C、 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{12}$ D、 $P (A + B) = \frac{5}{6}$

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20、从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（）

A、 B、 C、 D、

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学生	甲	乙	丙	丁	戊
成绩	84	72	80	72	76