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1、风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底 $A$ 处沿坡度 $i = 5 : 12$ 的山坡 $A B$ 走了 $\frac{234}{5} m$ 到达坡顶 $B$ 处，测得 $P$ 处的仰角为 $45 °$ ；他又沿坡面BC走 $30 m$ 到达坡底 $C$ 处，测得 $P$ 处的仰角为 $60 °$ ．（点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ 在同一平面内）

(1)、求坡顶 $B$ 处的高度；

(2)、求风筝的飞行高度（即 $P D$ 的长）．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ ， $O$ 两点分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，过 $C$ ， $D$ 两点的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相交于点 $E$ ，连接 $D E$ ， $C D$ ， $∠ A D E = ∠ A C D$ ．

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 6$ ， $\tan B = \frac{4}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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3、如图，已知直线 $y = k x + b$ 与双曲线 $y = \frac{3}{x}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于 $D$ 点，且 $A (1, m)$ ， $B (n, 1)$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的解析式；

(2)、连接 $A O$ 并延长交双曲线于点 $C$ ，连接 $B C$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，求 $△ C D E$ 的面积．

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4、“周礼伤心凉粉”是安岳的一大美食，它不仅口感鲜美，而且制作工艺独特，传承历史悠久，被誉为四川的传统工艺之一．现有 $A$ ， $B$ 两类“周礼伤心凉粉”特受顾客喜爱．已知购买2份 $A$ 类和1份 $B$ 类共需38元；购买4份 $A$ 类和3份 $B$ 类共需86元．

(1)、分别求出 $A$ ， $B$ 两类“周礼伤心凉粉”每份的价格；

(2)、芮芮家为了招待远道而来的客人，准备购买 $A$ ， $B$ 两类“周礼伤心凉粉”共20份，且购买的总费用不超过250元，则最多能购买 $A$ 类“周礼伤心凉粉”多少份？

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5、 $2025$ 年1月 $29$ 日，《哪吒2》正式上映，该电影剧情精彩、特效震撼，还精准传递了中国传统文化，从而引起了不同年龄段观众的共鸣，特成为中国动画电影的一部杰出作品．月月为了解本校学生对该电影的关注程度．对她所在学校的学生进行了随机抽样调查，将调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（没有关注）四类，并将调查结果绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求本次抽样调查的学生人数，请补全条形统计图；

(2)、若该校共有 $500$ 名学生，请求出“B（关注较多）”的学生人数；

(3)、若“A（实时关注）”中有2名男生和2名女生，现从中随机抽取2人深入了解，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

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6、先化简，再求值： $(\frac{x + 1}{x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x}$ ，其中 $x = 2$ ．

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7、如图，已知 $△ O A_{1} B_{1}$ ， $△ A_{1} A_{2} B_{2}$ ， $△ A_{2} A_{3} B_{3}$ ， $\dots$ ，都是等边三角形，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ 都在 $x$ 轴上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， $\dots$ 都在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 上，设点 $B_{2025}$ 的纵坐标为 $n$ ，则 $\frac{n}{2^{2024}}$ 的值为．

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8、如图1，点E，F在矩形纸片 $A B C D$ 的边上，且 $∠ A E F = 40 °$ ，将矩形沿 $E F$ 折叠成图2， $A E$ 与 $C F$ 交于点G；点H，K分别在线段 $D E$ ， $C G$ 上，再沿 $H K$ 折叠成图3，此时 $C K$ 恰好过点E．若 $E G = E K$ ，则 $∠ E H K$ 的度数为．

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9、在平面直角坐标系中，将点 $P (3, 1)$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 到点 $P^{'}$ 处，则点 $P^{'}$ 的坐标为．

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10、若 $a$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的根，则 $- 2 a^{2} + 4 a + 3$ 的值为．

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11、一袋中装有若干个球，它们除颜色外无其他差别，其中有8个白球，从盒子中任意摸出一个，摸到白球的概率是 $\frac{2}{9}$ ，则该袋中球的总个数为．

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12、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3，点E，F，G分别在边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 上，且 $A F ⊥ E G$ ．当 $C F = 2 B F$ 时， $E F + A G$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $3 \sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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13、数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程 $x^{2} + 4 x - \frac{1}{x} + 3 = 0$ 的实数根的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ， $A C ⊥ C D$ ，以点C为圆心， $C O$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点E，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3} - π$ B、 $8 \sqrt{3} - π$ C、 $8 \sqrt{3} - 2 π$ D、 $16 \sqrt{3} - π$

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15、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，分别以 $C$ ， $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径画弧，两弧交于 $E$ ， $F$ 两点，作直线 $E F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，交 $C D$ 于点 $H$ ．若 $S_{△ D G H} = 6$ ，则 $A G$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $1.5$ C、 $2$ D、 $2.5$

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16、猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式．某校开展了猜灯谜知识竞赛活动，其中甲组学生的成绩为：82，81，83，84，81，80，则这组数据的众数和中位数分别为（）

A、81，83 B、81，81.5 C、81.5，81 D、81，83.5

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17、2025年春节假期，安岳县游客接待量约913200人次，同比增长 $11.2 %$ ……印证着这座“中国石刻之乡”的文旅活力．请将数“913200”用科学记数法表示为（）

A、 $0.9132 \times 10^{5}$ B、 $9.132 \times 10^{5}$ C、 $9.132 \times 10$ D、 $91.32 \times 10^{4}$

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18、下列立体图形中，主视图为三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、下列运算正确的是（）

A、 $m^{2} + m^{2} = m^{4}$ B、 $m^{3} \cdot m^{2} = m^{6}$ C、 ${(m n^{2})}^{3} = m^{3} n^{6}$ D、 ${(m^{3})}^{2} = m^{5}$

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20、如图，在□ABCD中，AB=10+10 $\sqrt{3}$ ， P为线段CD上一点，连结AP，将△ADP沿着线段AP折叠，点D落在D^'处，作D^'E//CD交AP于点E.

(1)、证明：四边形D'EDP为菱形.

(2)、如图1，若D^'恰好落在平行四边形ABCD的对角线交点处，求此时DP的长度.

(3)、如图2，连结AC，∠ADC=45°，∠DAC=105°，在AB上取一点M（AM< $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AD），若点M关于直线AD'的对称点N落在△APC的内部（包括边界），请直接写出DP的取值范围.

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