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1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(2, 0)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P (4, 0), G (1, 0)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ （不与 $x$ 轴重合）交椭圆 $E$ 于 $A, B$ ，连接 $B G$ 交 $E$ 于点 $C$ ，连接 $A C$ ，直线 $A C$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ．
（i）求 $\frac{|A H|}{|A C|}$ 的值；
（ii）若点 $A$ 在线段 $B P$ 上，求 $\frac{S_{△ G C P}}{S_{△ G B P}}$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = x e^{x - 1} - k (x - 1) + e, k \in R, e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $k = e$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对任意 $x \in [- 2, + \infty)$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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3、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = B C = \sqrt{2}, P B = A C = 2, A B = \sqrt{6}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点．

(1)、求证： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $A C$ 与平面 $P B C$ 所成的角．

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \frac{\tan^{2} x - 1}{\tan^{2} x + 1}$ ．

(1)、化简 $f (x)$ ，并求 $f (- \frac{π}{12})$ 的值；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 满足 $f (A) = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos 2 A$ 的值．

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5、生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设 $c_{k} \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，对于有序数组 $(c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5})$ ，记 $R (c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5})$ 为 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}$ 中所包含的不同整数的个数，比如： $R (1, 1, 2, 2, 2) = 2$ ， $R (2, 1, 3, 4, 4) = 4$ ．当 $(c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5})$ 取遍所有的 $5^{5}$ 个有序数组时， $R (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5})$ 的总和为．

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6、已知复数 $z$ 满足 $|z - 1 + 2 i| = 3$ ，则 $|z|$ 的最小值为．

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7、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为面 $A_{1} A D D_{1}$ 内以 $A D$ 为直径的半圆上的动点，则（）

A、 $B P$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、 $B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的最大值的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\vec{P B} \cdot \vec{P D_{1}}$ 的最小值为 $- 2$ D、二面角 $P - B_{1} D_{1} - A_{1}$ 的最小值的正切值为 $\frac{3}{4} \sqrt{2}$

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8、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到函数 $f (x)$ 的图像 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是 $[- 2, - \sqrt{3}]$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ，对任意 $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3}{5}]$ ，都有 $f (x) + f (4 x - a) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 4]$ B、 $[2, 5]$ C、 $[3, 4]$ D、 $[3, 5]$

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10、在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + D A^{2} = A C^{2} + B D^{2}$ ，若 $A B = 3, A D = 4, A C = 6$ ，则 $B D$ 的长度为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、5 D、 $\sqrt{14}$

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11、对空间中的非零向量 $\vec{a_{i}} (1 \leq i \leq m)$ ，记向量 $\vec{a_{i}}$ ，与 $\vec{a_{j}}$ 的夹角为 $⟨\vec{a_{i}}, \vec{a_{j}}⟩$ ，对 $\forall i \neq j, \cos ⟨\vec{a_{i}}, \vec{a_{j}}⟩ \leq 0$ ，则 $m$ 的最大值是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12、已知 $\tan α = 3 \tan β$ ，则 $\frac{\sin (α + β)}{\cos (α - β)}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{\ln |2 a + \frac{2}{1 - x}|}{x}$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、在平面直角坐标系中，动点 $P (x, y)$ 满足方程 $|\sqrt{{(x + 2 \sqrt{6})}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - 2 \sqrt{6})}^{2} + y^{2}}| = 4$ ，则动点轨迹的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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15、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}, B = \{x |1 < 3^{x} < 9\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |1 \leq x \leq 2\}$ B、 $\{x |1 < x \leq 2\}$ C、 $\{x |1 \leq x < 2\}$ D、 $\{x |0 \leq x < 2\}$

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16、已知随机变量 $X ~ N (4, 9)$ ，则 $D (X) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、9

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17、如图所示，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $θ (0 < θ < π)$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 $x O y$ 为 $θ$ 仿射坐标系，若在 $θ$ 仿射坐标系下 $\vec{O M} = a \vec{e_{1}} + b \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(a, b)$ 叫做向量 $\vec{O M}$ 的仿射坐标，记为 $\vec{O M} = (a, b)$ .若 $\vec{O M} = (a, b)$ 满足 $sin (θ a) = sin (θ b) = \frac{θ}{π}$ ，则称 $\vec{O M} = (a, b)$ 是 $θ$ 仿射坐标系下的“完美向量”，已知在 $θ$ 仿射坐标系下 $\vec{O A} = (3, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, 1)$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，求向量 $\vec{O A} - \vec{O B}$ 的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）；

(2)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时， $\vec{O M} = (a, b)$ 是 $θ$ 仿射坐标系下的“完美向量”，且 $0 < a < b < \frac{π}{θ}$ ，求 $sin (\frac{π}{6} (b - a))$

(3)、设 $∠ A O B = α$ ，若 $|\vec{O A} - t \vec{O B}| \geq \sqrt{3}$ 对 $\forall t \in R$ 恒成立，求 $cos α$ 的最大值.

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18、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} = 3, A B = A C = 2, M, N$ 分别为棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上的点， $P$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，且 $B M = N C_{1} = 2$ .

(1)、求证： $B A_{1}$ $∥$ 平面 $M N P$ ；

(2)、当三棱锥 $A_{1} - A B C$ 的体积最大时，求平面 $M N P$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值.

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19、在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n} \in N^{*}$ ，且 $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, & a_{n} 是偶数 \\ a_{n} + 3, & a_{n} 是奇数 \end{matrix}$ ， $(n = 1, 2, 3, \dots)$ 则称 ${a_{n}}$ 为“ $J$ 数列”，设 ${a_{n}}$ 为“ $J$ 数列”，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $a_{1} = 10$ ，求 $S_{3}$ ， $S_{6}$ ， $S_{9}$ 的值；

(2)、若 $S_{3} = 17$ ，求 $a_{1}$ 的值.

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20、欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + isin θ$ （e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的， $e^{iπ} + 1 = 0$ 是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数 $e^{\frac{π}{3} i}$ 虚部为.

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