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1、已知关于x，y的二元二次方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + k = 0 (k \in R)$ 表示圆C．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线 $l : x - 2 y + 4 = 0$ 与圆C相交于M．N两点，且 $O M ⊥ O N$ （O为坐标原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．

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2、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2, a_{n} = 2 a_{n - 1} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .

(1)、试写出 $a_{2}, a_{3}$ ，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 满足 $f (0) = 6, f (1) = 5$ ，
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在 $x \in [- 2, 2]$ 的最小值和最大值.

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4、某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；

(2)、根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.

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5、已知 $\sin α = \frac{1}{2}, α \in (0, \frac{π}{2})$

(1)、求 $\cos α$ 的值；

(2)、求 $\sin 2 α + \cos 2 α$ 的值.

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $P A = A D$ ，则异面直线 $P D$ 与 $B C$ 所成角的大小是.

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7、已知 $x > 0$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是．

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8、已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\cos α$ = ．

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9、如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B_{1} D_{1}$ 与平面 $B C_{1} D$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、直线 $B_{1} D_{1}$ 在平面 $B C_{1} D$ 内

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 60^{\circ}, B = 45^{\circ},$ $b = \sqrt{6}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、6

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11、某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{6}$

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12、在区间 $(0, + \infty ）$ 为增函数的是（）

A、 $f (x) = - x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \lg x$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, x) .$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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14、函数 $f (x) = 2^{x} - 3$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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15、已知集合 $M = {a, b}$ ， $N = {b, c}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 ${a, b}$ B、 ${b, c}$ C、 ${a, c}$ D、 ${b}$

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16、在空间直角坐标系Oxyz中，任意平面的方程都能表示成 $A x + B y + C z + D = 0$ （A，B，C， $D \in R$ ，且 $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ）， $\vec{m} = (A, B, C)$ 为该平面的法向量.设M是多面体的一个顶点，定义多面体在M处的离散曲率为 $Ω_{M} = 1 - \frac{1}{2 π}$ $(∠ N_{1} M N_{2} + ∠ N_{2} M N_{3} + \cdot \cdot \cdot$ $+ ∠ N_{n - 1} M N_{n} + ∠ N_{n} M N_{1}$ ），其中 $N_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，3， $\cdot \cdot \cdot$ ， n， $n \geq 3$ ）为多面体的所有与点M相邻的顶点，且平面 $N_{1} M N_{2}$ ， $N_{2} M N_{3}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $N_{n - 1} M N_{n}$ ， $N_{n} M N_{1}$ 遍历多面体的所有以M为公共顶点的面.多面体的离散总曲率为该多面体各顶点的离散曲率之和.已知空间直角坐标系Oxyz中，几何体W的底面在平面Oxy内，且侧面上任意一点 $(x, y, z)$ 满足 $\{\begin{array}{l} 3 |x| + 3 |y| + \sqrt{6} |z| = 3 \sqrt{6}, \\ z \geq 0. \end{array}$

(1)、判断几何体W的形状，并求几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值；

(2)、求几何体W的离散总曲率；

(3)、定义：若无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比q满足 $0 < |q| < 1$ ，则 ${a_{n}}$ 的所有项之和 $S = \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}$ .若球 $O_{1}$ 与几何体W的各面均相切，然后依次在W内放入球 $O_{2}$ ，球 $O_{3}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，球 $O_{n + 1}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，使得球 $O_{n + 1}$ （ $n \geq 1$ ， $n \in N^{*}$ ）与W的四个侧面相切，且与球 $O_{n}$ 外切，求放入的所有球的表面积之和.

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17、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $Q (3, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $A B$ 平行于 $y$ 轴时， $|A B| = 6$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、是否存在不同于点 $Q$ 的定点 $M$ ，使得 $∠ A M Q = ∠ B M Q$ 恒成立？若存在，求点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l^{'}$ 与 $E$ 交于异于 $A$ ， $B$ 的 $C$ ， $D$ 两点，其中点 $A, D$ 在第四象限，直线 $A C$ ，直线 $B D$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $G, H$ （ $G$ 与 $H$ 不重合），设线段 $G H$ 的中点为 $N (n, 0)$ ，求实数 $n$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - a x - a^{2}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 存在极大值，且极大值不大于 $- 3 - \ln 2$ ，求实数a的取值范围.

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19、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，证明： $\frac{1}{3} \leq S_{n} < \frac{1}{2}$ .

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20、2025年1月1日，某地举行马拉松比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表：
满意度
性别
合计
女性
男性
比较满意
r
s
50
非常满意
t
40
70
合计
60
l
120

(1)、求 $\frac{r - s}{l - t}$ 的值；

(2)、依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？

(3)、用频率估计概率，现随机采访1名女性参赛人员与1名男性参赛人员，设 $X$ 表示这2人中对该部门服务质量非常满意的人数，求X的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
6.635
10.828

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满意度	性别		合计
满意度	女性	男性	合计
比较满意	r	s	50
非常满意	t	40	70
合计	60	l	120

$α$	0.1	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	6.635	10.828