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1、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ B、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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2、锐角 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $2 b \cos \frac{A}{2} = a \cos (\frac{A}{2} - B)$ ，若 $\cos (C - B) + λ \cos A$ 存在最大值，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \sqrt{2})$ B、 $(1, \sqrt{3})$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, 4)$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ A = 120 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 边上的点，且 $\vec{A E} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = y \vec{A C}$ ，且 $2 x + y = 1$ ，若线段 $E F$ ， $B C$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，则 $| \vec{M N} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{39}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

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4、设O是坐标原点，单位圆O上一点A，射线OA绕着O点逆时针旋转 $θ$ 后得到OP，P为与单位圆的交点，P的坐标为 $(a, b)$ ，则A的坐标为（）

A、 $(a cos θ + b sin θ, b cos θ - a sin θ)$ B、 $(b cos θ - a sin θ, a cos θ + b sin θ)$ C、 $(a sin θ + b cos θ, a cos θ - b sin θ)$ D、 $(a cos θ - b sin θ, a sin θ + b cos θ)$

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5、定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{- 2} + \cos x$ ，若 $a = f (\frac{1}{2})$ ， $b = f (\log_{\frac{1}{4}} 3)$ ， $c = f (\sin \frac{1}{2})$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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6、设 $a \in R$ ， $z i = 3 + a i$ ，其中 $i$ 为虚数单位.则“ $|z| > \sqrt{10}$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、在 $△ A B C$ 中，下列等式一定成立的是（）

A、 $\sin \frac{A + B}{2} = - \cos \frac{C}{2}$ B、 $\tan \frac{A + B}{2} = - \tan \frac{C}{2}$ C、 $\sin (2 A + 2 B) = - \sin 2 C$ D、 $\cos (2 A + 2 B) = - \cos 2 C$

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8、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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9、如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数 $y = k \sqrt{x} (k > 0)$ 的图象的一部分，后一段DBC是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ， $x \in [4, 8]$ )的图象，图象的最高点为 $B (5, \frac{8 \sqrt{3}}{3})$ ，且 $D F ⊥ O C$ ，垂足为点F．

(1)、求函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $x \in [4, 8]$ )的解析式；

(2)、若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为 $\frac{4}{3}$ ，点E在OC上，求儿童乐园的面积．

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10、已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 2 \sqrt{3} {c o s}^{2} x - \sqrt{3}$ ．
$(1)$ 求函数 $f (x)$ 的单调减区间；
$(2)$ 将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{8})$ 上的值域．

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11、已知 $\sin \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2} = 0$ .
（1）求 $\tan x$ 的值；
（2）求 $\frac{\cos 2 x}{\cos (\frac{5 π}{4} + x) \sin (π + x)}$ 的值.

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $c = 2 b cos A$ ， $a sin A - b sin B = c (sin C - sin B)$ ，则角 $B$ 为.

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13、已知向量 $\vec{a} = (3, m)$ ， $\vec{b} = (n, 1)$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b} = (- 1, 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} // (3 \vec{a} + 2 \vec{b})$ B、 $(2 \vec{a} - 5 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ C、 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $|\vec{a}| = \sqrt{5} |\vec{b}|$

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14、如图是函数 $y = 2 \sin (ω x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象，那么（）

A、 $ω = \frac{10}{11}, φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{10}{11}, φ = - \frac{π}{6}$ C、 $ω = 2, φ = \frac{π}{6}$ D、 $ω = 2, φ = - \frac{π}{6}$

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15、已知 $\frac{tan α}{tan α - 1} = - 1$ ，则 ${sin}^{2} α + sin α cos α + 2 =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{13}{5}$

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16、四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ A = 90^{\circ}, A B = 2 A D = 2 D C, \vec{B C} = 3 \vec{E C}, \vec{A E} = 2 \vec{A F}$ ，则下列表示正确的是（）

A、 $\vec{C B} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{C F} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\vec{B F} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

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17、已知f （x）是定义在R上的偶函数，且当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $f (x) = x^{2} - \sin x$ ，则当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} + \sin x$ B、 $- x^{2} - \sin x$ C、 $x^{2} - \sin x$ D、 $- x^{2} + \sin x$

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18、设 $z = 3 - 2 i$ ，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、下面命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $|\vec{a}| = 0$ ，则 $\vec{a} = 0$

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20、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在正整数 $T$ ，使得从数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $N$ 项起，恒有 $a_{n + T} = a_{n} (n \geq N)$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为第 $N$ 项起的周期为 $T$ 的周期数列．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2})$ ，且 $a_{n} a_{n + 1} \neq 3$ ，证明：3是 $\{a_{n}\}$ 的一个周期．

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}, b_{1} = - a, b_{2} = b$ （其中 $a, b \geq 0$ ， $a, b$ 不全为0）， $b_{n + 2} = |b_{n + 1}| - b_{n} (n \geq 1)$ ，证明：存在正整数 $N$ ，使得 $n \geq N$ 时， $b_{n + T} = b_{n} (n \geq N)$ 成立，并求出满足条件的一个周期 $T$ ．

(3)、已知数列 $\{c_{n}\}, c_{1} = 3, c_{n + 1} = \frac{3 + c_{n}}{1 - 3 c_{n}}$ ，求证： $\{c_{n}\}$ 不是周期数列．

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