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1、已知集合 $A = \{x \in N^{*} ∣ x^{2} - 5 x \leq 0\}, B = {x \in Z ∣ |x - 1| < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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2、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为BD的中点， $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，且 $V_{A - B C D} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

(1)、求三棱锥 $A - B C D$ 的高；

(2)、求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；

(3)、在棱AD上是否存在点 $E$ ，使二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $45 °$ ？若存在，并求出 $\frac{A E}{D E}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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3、已知圆C过 $A (1, - \sqrt{7})$ ， $B (6, 2 \sqrt{3})$ ，且圆心C在x轴上．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $D (2, 10)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 分别与直线 $x = 8$ 相交于P，Q，记 $△ O M N$ ， $△ O P Q$ 面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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4、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点，P为C上一点.

(1)、若 $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，点P的坐标为 $(0, - 3)$ ，求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为4，求b的值.

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5、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 3$ ，点E在棱AB上移动．

(1)、证明： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求平面 $A C D_{1}$ 的法向量．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $| A P | = | A B | = 2$ ， $| A D | = 4$ ， $E$ 是 $B C$ 上的点，直线 $P B$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $B E$ 的长为.

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7、若方程 $\frac{x^{2}}{6 - k} + \frac{y^{2}}{k - 2} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为.

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8、过圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心且与直线 $x + y = 0$ 垂直的直线方程为．

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为边AD的中点，点P为线段 $D_{1} B$ 上的动点，设 $D_{1} P = λ D_{1} B$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，EP//平面 $A B_{1} C$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $|P E|$ 取得最小值，其值为 $\sqrt{2}$ C、 $|P A| + |P C|$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、当 $C_{1} \in$ 平面CEP时， $λ = \frac{1}{4}$

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10、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在椭圆上，当 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为1时， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 等于（）

A、0 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知直线 $l : x + y - 2 = 0$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + a = 0$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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12、已知直线 $l : x - 2 y - m = 0$ 在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（）.

A、－2 B、－ $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是边长为1的菱形，且 $∠ A D C = 120 °, P D = A D$ ，则（）

A、 $(\vec{D A} + \vec{D C}) \cdot \vec{D P} = 1$ B、 $(\vec{D P} + \vec{D B}) \cdot \vec{A D} = \frac{1}{2}$ C、 $\vec{C P} \cdot \vec{P A} = - \frac{1}{2}$ D、 $\vec{D C} \cdot \vec{B P} = \frac{1}{2}$

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14、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则点 $D_{1}$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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15、根据要求完成下列问题：

(1)、已知命题 $p$ ： $\frac{2 x + 7}{x + 3} < 1$ ，命题 $q$ ： $x^{2} - (a + 1) x + a < 0$ （ $a < 1$ ），且命题q是命题p的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、已知不等式 $| 2 x - 1 | < 2$ 的解集与关于 $x$ 的不等式 $- x^{2} - p x + q > 0$ （ $p, q \in R$ ）的解集相同，若实数 $a, b \in R_{+}$ 满足 $a + b = p + 4 q$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

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16、（1）若命题p： $\exists 2 \leq x \leq 3$ ， $x^{2} - 4 x + 13 \geq t$ 为真命题，求t的取值范围；
（2）已知集合 $A = {x | - 2 \leq x - 1 \leq 5}$ 、集合 $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ （ $m \in R$ ）.若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、（1）已知 $g (x) - 3 g (\frac{1}{x}) = x + 2$ （ $x > 0$ ），求 $g (x)$ 的解析式及值域.
（2）已知函数 $f (\sqrt{x} + 2) = x + 2 \sqrt{x}$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式，定义域，值域.

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18、（1）已知 $x > 1$ ，求 $f (x) = x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值；
（2）已知 $a > b > 0, c > d > 0$ ，证明： $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} < \frac{1}{d} - \frac{1}{c}$ .

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19、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x > 4}$ ， $B = {x | - 6 < x < 6}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ； $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若集合 $C = {x | x > a}$ ，且 $A \subseteq C$ ，则实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{\sqrt{6 - 2 x}}$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为

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