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1、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设向量 $\overset{⃑}{m} = (b + c, \sin A)$ ， $\overset{⃑}{n} = (a + b, \sin C - \sin B)$ ，且 $\overset{⃑}{m} ∥ \overset{⃑}{n}$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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2、蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．

(1)、求该蒙古包的侧面积．

(2)、求该蒙古包的体积．

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3、已知向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}$

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{c}) ⊥ (2 \vec{b} - \vec{a})$ ，求实数 $k$ 的值．

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4、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

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5、在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为 $\vec{G}$ ，两臂拉力分别为 $\vec{F_{1}}$ ， $\vec{F_{2}}$ ，若 $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} |$ ， $\vec{F_{1}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，则以下四个结论中：
① $| \vec{F_{1}} |$ 的最小值为 $\frac{1}{2} | \vec{G} |$ ；
②当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $| \vec{F_{1}} | = \frac{\sqrt{2}}{2} | \vec{G} |$ ；
③当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时， $| \vec{F_{1}} | = | \vec{G} |$ ；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为．

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6、已知 $\vec{a} = (- 3, 0)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $2 \vec{a} + \vec{b} =$ ．

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7、如图所示，四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是由斜二测画法得到的平面四边形 $A B C D$ 水平放置的直观图，其中， $A^{'} D^{'} = 5$ ， $C^{'} D^{'} = C^{'} B^{'} = 2$ ，点 $P^{'}$ 在线段 $C^{'} D^{'}$ 上， $P^{'}$ 对应原图中的点 $P$ ，则在原图中下列说法正确的是（）

A、四边形 $A B C D$ 的面积为14 B、与 $\overset{⃑}{A B}$ 同向的单位向量的坐标为 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $\overset{⃑}{A D}$ 在向量 $\overset{⃑}{A B}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{9}{5}, - \frac{12}{5})$ D、 $| 3 \overset{⃑}{P A} + \overset{⃑}{P B} |$ 的最小值为17

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8、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 B、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[- π, - \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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9、已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为 $\sqrt{14}$ ，则该四棱台的表面积为（）

A、 $10 + 6 \sqrt{15}$ B、34 C、 $20 + 12 \sqrt{15}$ D、68

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10、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 7$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、已知α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）

A、若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l B、若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉β C、若A∈α且B∈α，则直线AB⊂α D、若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线

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12、与 $\vec{a} = (- 1, 4)$ 共线的向量是（）

A、 $(- 1, - 4)$ B、 $(1, - 4)$ C、 $(1, 4)$ D、 $(4, 1)$

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13、已知锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{\cos A}{2 \cos B} = \sin (C - \frac{π}{6})$ ，且 $b^{2} - {(a - c)}^{2} = 6$ ，

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $B D$ 为 $A C$ 边上的高，过点 $D$ 分别作边 $A B$ 、 $B C$ 的垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，
（ⅰ）求证： $B D^{2} = \frac{27}{a^{2} + c^{2} - 6}$ ；
（ⅱ）求 $M N$ 的最大值．

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14、在路边安装路灯，灯柱 $A B$ 与地面垂直(满足 $∠ B A D = 90 °$ )，灯杆 $B C$ 与灯柱 $A B$ 所在平面与道路垂直，且 $∠ A B C = 120 °$ ，路灯 $C$ 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 $∠ A C D = 60 °$ ，路宽 $A D = 24 m$ .设灯柱高 $A B = h (m)$ ， $∠ A C B = θ (30 ° \leq θ \leq 45 °)$ .
（1）当 $θ = 30 °$ 时，求四边形 $A B C D$ 的面积；
（2）求灯柱的高 $h$ (用 $θ$ 表示)；
（3）若灯杆 $B C$ 与灯柱 $A B$ 所用材料相同，记此用料长度和为 $S$ ，求 $S$ 关于的函数表达式，并求出 $S$ 的最小值.

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15、已知向量 $\vec{a} = (3 ， 4) ， \vec{b} = (x ， - 3)$ .

(1)、当 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ 且 $x > 0$ 时，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $\vec{c} = (3 ， 7) ， \vec{a} / / (\vec{b} + \vec{c})$ 时，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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16、已知复数 $z = 4 + a i$ ，其中 $a$ 是正实数， $i$ 是虚数单位

(1)、如果 $z^{2}$ 为纯虚数，求实数 $a$ 的值；

(2)、如果 $a = 2$ ， $z_{1} = \frac{z}{1 - i}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个复根，求 $b + c$ 的值.

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17、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 ${sin}^{2} C + cos 2 C = \frac{3}{4}$ ．角 $C$ 的大小为．

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18、化简： $\frac{2 \sin (π - α) + \sin 2 α}{2 \cos^{2} \frac{α}{2}} - \cos (\frac{3}{2} π - α) =$ .

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19、函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + 2 \cos^{2} ω x - 1$ （ $0 < ω < 1$ ）的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $y = f (2 x + \frac{π}{3})$ 是奇函数 C、 $y = f (x + \frac{π}{6}) \cos x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、若 $y = f (t x)$ （ $t > 0$ ）在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{11}{6}, \frac{17}{6})$

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20、已知复数 $z = - 1 + 3 i$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部是 $- 3 i$ B、 $|z + 3 - 2 i| = \sqrt{5}$ C、 $|z \bar{z}| = z^{2}$ D、 $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 10 = 0$ 的一个根

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