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1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 3, 1)$ .

(1)、求 $| \vec{a} + 3 \vec{b} |$ ；

(2)、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s θ$ 的值；

(3)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值.

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2、如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点 $C$ ，测得塔顶的仰角为 $θ$ ，由 $C$ 向塔前进30米后到点 $D$ ，测得塔顶的仰角为 $2 θ$ ，再由 $D$ 向塔前进 $10 \sqrt{3}$ 米后到点 $E$ ，测得塔顶的仰角为 $4 θ$ ，则塔高PA为米.

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3、已知 $| \vec{b} | = 3, \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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4、已知 $s i n (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s (\frac{π}{6} + α) =$ .

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B_{1} B, C_{1} C$ 上的动点， $A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 A_{1} C_{1} = 4$ ， $∠ A_{1} C_{1} B_{1} = \frac{π}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ B、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $16 π$ C、若 $E, F$ 分别是棱 $B_{1} B, C_{1} C$ 的中点，则异面直线 $A_{1} F$ 与 $A E$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ D、 $A E + E F + F A_{1}$ 取得最小值时， $A_{1} F = E F$

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6、已知函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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7、已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z$ 在复平面上对应点在第二象限 C、 $\bar{z} = 1 + i$ D、 $z$ 的虚部为-1

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8、如图， $O$ 是锐角三角形 $A B C$ 的外心，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $A = \frac{π}{3}$ ，若 $\frac{c o s B}{s i n C} \vec{A B} + \frac{c o s C}{s i n B} \vec{A C} = 2 m \vec{A O}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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9、心理学家有时用函数 $L (t) = A (1 - e^{- k t})$ 测定在时间 $t$ （单位： $m i n$ ）内能够记忆的量 $L$ ，其中 $A$ 表示需要记忆的量， $k$ 表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时 $L$ 表示在时间 $t$ 内该生能够记忆的单词个数.已知该生在 $5 m i n$ 内能够记忆20个单词，则 $k$ 的值约为（） $(l n 0.9 \approx - 0.105, l n 0.1 \approx - 2.303$ ）

A、0.021 B、0.221 C、0.461 D、0.661

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10、已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（）

A、 $9 \sqrt{3} π$ B、 $6 \sqrt{3} π$ C、 $6 π$ D、 $12 π$

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11、若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 1, x > 1 \\ a x, x \leq 1 \end{array}$ 在其定义域内是一个单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, \frac{2}{3}]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, \frac{2}{3}]$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A C} = 3 \vec{A N}, P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = (m + \frac{1}{3}) \vec{A B} + \frac{1}{9} \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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13、已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}, B = {x ∣ l n x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${- 2, 2}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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14、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a s i n A = b s i n B + c s i n C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $| P B | + | P C | = t | P A |$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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15、在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 $O$ （如图）的东偏南 $θ (c o s θ = \frac{\sqrt{2}}{10})$ 方向 $300 k m$ 的海面 $P$ 处，并以 $20 k m / h$ 的速度向西偏北 $45 °$ 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 $60 k m$ ，并以 $10 k m / h$ 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $F$ 为 $A B$ 上的点，且 $A F = 2 F B$ ， $E$ 为 $P D$ 中点．

(1)、证明： $P B ∥$ 面 $A E C$

(2)、在 $P C$ 上是否存在一点 $G$ ，使得 $F G ∥$ 面 $A E C$ ？若存在，指出点 $G$ 位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $\frac{2 c - b}{a} = \frac{c o s B}{c o s A}, b = c = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $△ A B C$ 是正三角形．

(2)、若 $△ A B C$ 的三顶点都在球 $O$ 表面，且球 $O$ 的表面积为 $16 π$ ，求三棱锥 $O - A B C$ 的体积．

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18、已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (1, - 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的坐标与 $| \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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19、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{3}, | \vec{b} | = 2$ ，若对任意 $x \in R$ ，恒有 $| \vec{b} + x \vec{a} | \geq | \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} |$ ，则函数 $| t \vec{b} - \vec{a} | (t \in R)$ 的最小值为．

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20、已知 $△ A B C$ 是钝角三角形，角 $A, B, C$ 的对边依次是 $a, b, c$ ，且 $a = 3$ ， $b = 5$ ，则边 $c$ 的取值范围是．

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