广东省佛山市顺德区东逸湾实验学校2023-2024学年高一下学期期中阶段性质量检测数学试卷

试卷日期：2024-05-08 考试类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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2. $\sin 70^{\circ} \cos 40^{\circ} - \sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 0), \overset{⃑}{b} = (m, 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a}$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 已知 $|\vec{a}|$ ＝4， $|\vec{b}|$ ＝8， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ＝（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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5. 为了得到函数 $y = \cos (3 x - \frac{π}{12})$ 的图象，只需把函数 $y = \cos 3 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{36}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{36}$ 个单位长度

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b = 2 a$ ， ${sin}^{2} B = 2sin A sin C$ ，则 $cos B =$

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$

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8. 若 $\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos α$ =（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$ B、 $\frac{- 3 \sqrt{3} - 4}{10}$ C、 $\frac{- 3 \sqrt{3} + 4}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列关于复数z的结论正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z} = 1 - i$ C、复平面内表示复数 $z$ 的点位于第一象限 D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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10. 对于任意的平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 且 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq 0$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}$ 且 $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、将函数 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ 单调递增

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ，则 $\vec{b} - 2 \vec{a} =$ ．

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13. 若 $z = \frac{2 + m i}{1 + i}$ 为纯虚数，则复数 $z$ 的虚部为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3 ， B C = 4$ ，三角形的面积等于 $3 \sqrt{3}$ ，则 $A B$ 的长为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{°}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ .

(1)、求 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2}$

(2)、当 $k$ 为何值时，向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，点 $P$ 是线段 $B N$ 上一点．

(1)、若点 $P$ 是线段 $B N$ 的中点，试用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 表示向量 $\vec{A P}$ ；

(2)、若 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + m \vec{A C}$ ，求实数 $m$ 的值．

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17. 已知 $\cos α = \frac{3}{5}$ ， $c o s (α + β) = \frac{8}{17}$ ， α，β均为锐角．

(1)、求 $\sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值．

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18. 函数 $y = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ .
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ 时，求值域.

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $(a + b) (\sin A - \sin B) = (a - c) \sin C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的周长为 $2 \sqrt{3} π$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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