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1、设 ${a_{n}}$ 是等差数列，下列结论中正确的是( )

A、若 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} + a_{3} > 0$ B、若 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} < 0$ C、若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{3}}$ D、若 $a_{1} < 0$ ，则 $(a_{2} - a_{1}) (a_{4} - a_{1}) < 0$

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2、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l$ ： $y = k x + m$ ，若当 $k$ 的值发生变化时，直线被圆 $C$ 所截的弦长的最小值为 $2$ ，则 $m$ 的取值为( )

A、 $\pm 2$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm 3$

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3、若函数 $f (x) = \frac{a x - 1}{x - 1}$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称，则 $a =$ ( )

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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4、已知集合 $P = {x | y = \sqrt{x + 1}}$ ， $Q = {y | y = x^{2}}$ ，则下列选项中正确的是( )

A、 $P \cup Q = R$ B、 $Q \subseteq P$ C、 $P \cap Q = ⌀$ D、 $P \subseteq Q$

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5、已知复数 $z$ 满足 $z + \bar{z} = 4$ ，且 $z - \bar{z} = 2 i$ ，则 $| z | =$ ( )

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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6、已知函数 $h (x) = {\begin{array}{l} x l n x, 0 < x < 1, \\ x - x e^{x - 1}, x ⩾ 1 . \end{array}$

(1)、若函数 $f (x) = - x + 1$ ，证明： $f (x) > h (x)$ 在 $(1, + ∞)$ 上恒成立；

(2)、若 $h (x_{1}) = h (x_{2}) = h (x_{3}) (0 < x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，且 $x_{2} = m x_{1}, m \in (1, 2)$ ，证明： $x_{2} + x_{3} - 1 < (2 l n 2 + 2) x_{1}$ .

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7、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线为 $y = - 2 x$ ，实轴长为 $4 \sqrt{2}$ ， $M (x_{0}, y_{0})$ 为 $Γ$ 上一点.

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、（i）证明：直线 $l : \frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $Γ$ 相切于点 $M$ ；
（ii）若直线 $M N$ 与双曲线 $Γ$ 相切， $C$ 为双曲线 $Γ$ 的右焦点，且 $C N ⊥ C M$ ，试判断点 $N$ 是否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由.

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8、现有如下定义：在 $n$ 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, ⋯, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, ⋯, b_{n})$ 对应坐标差的绝对值之和，即为 $| a_{1} - b_{1} | + | a_{2} - b_{2} | + | a_{3} - b_{3} | + ⋯ + | a_{n} - b_{n} |$ .
基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 表示，其中 $a_{i} \in {0, 1} (i = 1, 2, 3)$ ；②在 $n$ 维空间中 $(n ⩾ 3, n \in N)$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 $n$ 维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, ⋯, a_{n})$ ，并称其为“ $n$ 维立方体”，其中 $a_{i} \in {0, 1} (i = 1, 2, 3, ⋯, n)$ .
请根据以上定义和基本事实回答下面问题：

(1)、若“ $n$ 维立方体”的顶点个数为 $λ$ ， “ $(n - 1)$ 维立方体”的顶点个数为 $μ$ ，求 $λ - μ$ 的值；

(2)、记随机变量 $ξ$ 为“ $n$ 维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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9、在数列 ${a_{n}}$ 中， $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} - 3 n = λ - a_{n} (λ \in R)$ 成立.

(1)、证明：数列 ${a_{2 n}}$ 是等差数列；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，求实数 $λ$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2, t a n ∠ A B C = t a n ∠ A C B = \frac{1}{2}$ ，点 $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $1, M, N$ 分别为 $B_{1} C_{1}, A_{1} B$ 的中点.

(1)、证明： $C M ⊥ A_{1} B$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值.

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11、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，且 $\sqrt{3} (b - a c o s C) = c s i n A$ ，则 $A =$ ；内角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $M$ ，若 $a = 4, A M = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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12、已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6，面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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13、已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2} = 2, a_{n + 1} a_{n} + 1 = a_{n + 1}$ ，则 $S_{10} =$ .

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14、已知点 $P (- 1, 0)$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与 $x$ 轴的交点， $M, N$ 分别为 $C$ 上不同两点（其中 $M$ 在第一象限）， $F$ 为抛物线的焦点， $O$ 为坐标原点，则下列说法正确的有（）

A、若 $| M N | = 10$ ，则 $M N$ 中点横坐标的最小值为4 B、若 $M, N, P$ 三点共线，且 $M F ⊥ N F$ ，则直线 $M N$ 的斜率为 $\sqrt{2}$ C、若 $M, F, N$ 三点共线，且 $\vec{M N} = 4 \vec{F N}$ ，则直线 $M N$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ D、若 $M, F, N$ 三点共线，且 $△ O M N$ 的外接圆与 $C$ 的交点为 $D$ （异于 $, N, M$ ），则 $△ D M N$ 的重心在 $x$ 轴上

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15、已知函数 $f^{'} (x)$ 为定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数， $f (- 1 + x) + f (- 1 - x) = 0$ ， $f^{'} (2 x + 1) + f^{'} (- 2 x + 1) = 0$ ，且 $f^{'} (0) = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 B、函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 C、 $f^{'} (16) = \sqrt{3}$ D、 $\sum_{i = 1}^{15} i f^{^{'}} (2 i) = 0$

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16、已知 $s i n α + c o s α = m, m \in (0, 1), α \in (0, π)$ ，则（）

A、 $s i n 2 α = 1 - m^{2}$ B、 $s i n α - c o s α = \sqrt{2 - m^{2}}$ C、 $c o s 2 α = - m \sqrt{2 - m^{2}}$ D、若 $m = \frac{1}{5}$ ，则 $t a n (\frac{π}{4} - α) = - 7$

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17、已知正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的高为 $2 \sqrt{3}$ ，侧面与底面所成角的正切值为4，则该正六棱锥的内接正六棱柱（即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱和底面上）的外接球的表面积的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $4 π$ C、 $3 \sqrt{3} π$ D、 $3 π$

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18、将函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上都是单调递增的，则 $b - a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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19、已知复数 $z_{0} = 6 (c o s \frac{11 π}{6} + i s i n \frac{11 π}{6})$ ，复数 $z$ 满足 $| z - z_{0} | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为（）

A、7 B、6 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$ ，记 $a = f (- l o g_{5} 2), b = f (\frac{\sqrt{3}}{3}), c = f (- \frac{1}{2})$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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