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1、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ．若A，C，D三点共线，则实数 $λ =$ ．

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2、如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{i} + y \vec{j}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系Oxy中的坐标，即 $\vec{O P} = (x, y)$ ．在坐标系Oxy中，设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（）

A、等式 $c = a \cos B + b \cos A$ 恒成立 B、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ， $b = \sqrt{6}$ ，则满足条件的三角形有两个

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4、圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离 $B$ 约为 $40 m$ 的点 $M$ （B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $45 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $15 °$ ，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（）

A、 $52 m$ B、 $54 m$ C、 $60 m$ D、 $80 m$

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5、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、3 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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6、辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（）

A、 $\frac{2}{3} R$ B、 $\frac{7}{12} R$ C、 $\frac{1}{2} R$ D、 $\frac{5}{12} R$

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7、定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ $M -$ 数列”.

(1)、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{2} a_{4} = a_{5}, a_{3} - 4 a_{2} + 4 a_{1} = 0$ .求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $M -$ 数列”；

(2)、已知各项为正数的数列 $\{b_{n}\}$ 满足： $b_{1} = 1, S_{n} = \frac{b_{n} b_{n + 1}}{2 (b_{n + 1} - b_{n})}$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和.
①求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
②已知 $\{c_{n}\}$ 是“ $M -$ 数列”，且对任意正整数k，都有 $b_{k} \leq c_{k + 1}$ 成立，求数列 $\{c_{n}\}$ 公比的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = \frac{2 \ln x + a}{x}, a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上单调性；

(2)、若 $f (x) \leq x e^{x} + \frac{1}{x} - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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9、某省2023年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A、B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省部分学校联合组织了一次高二年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．

(1)、其中一所学校某班生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换赋分如表：
原始分
97
95
91
90
89
87
85
84
84
83
赋分
99
97
95
95
94
92
91
90
90
90
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物的赋分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望：

(2)、假设此次高二学生生物学科原始分Y近似服从正态分布 $N (66.7, {13.3}^{2})$ ．现随机抽取了100名高二学生的此次生物学科的原始分，后经调查发现其中有一名学生舞弊，剔除掉这名学生成绩后，记ξ为其他被抽到的原始分不低于80分的学生人数，预测当 $P (ξ = k)$ 取得最大值时k的值． $(k \in N_{+})$
附，若 $η ～ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq η \leq μ + σ) \approx 0.68$ ， $P (μ - 2 σ \leq η \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$ ．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 S_{n} + a_{n} = 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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11、2024年3月28日，小米SU7汽车上市，24小时预定88898台.小米集团为了了解小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝是否有关，随机抽取了200名小米手机用户进行调查，得到下表.
已订购小米SU7
未订购小米SU7
总计
是小米粉丝
80
非小米粉丝
40
80
总计

(1)、补全表中数据，依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，是否能够认为小米手机用户订购小米SU7的意愿与用户是小米粉丝有关?

(2)、小米集团打算从已订购小米SU7的用户中采用按比例分配的分层随机抽样的方式抽取6人，再从这6人中抽取3人听取建议，求这3人中恰有2人是小米粉丝的概率.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
6.635
7.879
10.828

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12、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + 1 < 0$ 在 $(\frac{1}{2}, 1]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 .

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13、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{5}{9}$ B、 $P_{n + 1} = \frac{2}{3} P_{n} + \frac{1}{3}$ C、点Q移动4次后恰好位于点 $C_{1}$ 的概率为0 D、点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 $\frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{10} + \frac{1}{2}$

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14、下列论述正确的有（）

A、若随机变量 $ξ, η$ 满足 $η = 2 ξ + 1$ ，则 $D (η) = 2 D (ξ) + 1$ B、若随机事件 $A$ ， $B$ 满足： $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、基于小概率值 $α$ 的检验规则是：当 $χ^{2} \geq x_{α}$ 时，我们就推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $α$ ；当 $χ^{2} < x_{α}$ 时，我们没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立 D、若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ ，则样本点 $(2, - 3)$ 的残差为 $- 1.9$

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15、2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
按公式计算，y与x的回归直线方程是： $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，相关系数 $|r| = 0.986$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\hat{a} = 41$ B、变量 $x, y$ 线性负相关且相关性较强 C、相应于点 $(9.5, 10)$ 的残差约为0.4 D、当 $x = 8$ 时，y的估计值为14.4

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16、某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有 $80 %$ 的概率获得回报 $400$ 元，有 $20 %$ 的概率获得回报 $800$ 元；方案二：第一天获得回报 $10$ 元，以后每天获得的回报比前一天多 $10$ 元；方案三：第一天获得回报 $0.5$ 元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是（）

A、方案一 B、方案二 C、方案三 D、都可以

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17、规定 $a * b = \sqrt{a b} + a + b (a b \geq 0)$ ，则函数 $f (x) = 1 * x$ 的值域为

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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18、已知 $p$ ： $\log_{2} x < 1$ ，则 $p$ 的充分不必要条件是（）

A、 $x < 2$ B、 $0 < x < 2$ C、 $0 < x < 1$ D、 $0 < x < 3$

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19、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 $△ A B C$ 中，试解决以下问题：

(1)、 $G$ 是三角形的重心（三条中线的交点），过点 $G$ 作一条直线分别交 $A B, A C$ 于点 $M, N$ ．
（ⅰ）记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A G}$ ；
（ⅱ） $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，求 $m + n$ 的最小值．

(2)、已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 的垂心（三条高的交点），且 $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，求 $cos ∠ B A C$ ．

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{3} cos A (c cos B + b cos C) = a sin A$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 7$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，求 $\frac{R}{r}$ 的最小值．

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	已订购小米SU7	未订购小米SU7	总计
是小米粉丝	80
非小米粉丝		40	80
总计

原始分	97	95	91	90	89	87	85	84	84	83
赋分	99	97	95	95	94	92	91	90	90	90

$α$	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	6.635	7.879	10.828

价格x	9	9.5	10	10.5	11
销售量y	11	10	8	6	5