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1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $B = 30^{\circ}$ ， $c = 4$ ， $b = 5$ ，有两解 B、 $B = 30^{\circ}$ ， $c = 4$ ， $b = 3.9$ ，有一解 C、 $B = 30^{\circ}$ ， $c = 4$ ， $b = 3$ ，有一解 D、 $B = 30^{\circ}$ ， $c = 4$ ， $b = 1$ ，无解

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2、已知向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 的投影向量为 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ ，且 $\vec{b} = (1, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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3、如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 $A, B$ 两点，从 $A, B$ 两点测得树尖的仰角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$ ，且 $A, B$ 两点之间的距离为 $80 m$ ，则树的高度为（）

A、 $(40 + 40 \sqrt{3}) m$ B、 $(40 + 20 \sqrt{3}) m$ C、 $(20 + 40 \sqrt{3}) m$ D、 $(20 + 4 \sqrt{3}) m$

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4、已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1 + i^{2} + i^{3} + i^{4} + i^{5}$ ，则（）

A、 $z = - 1 + i$ B、 $z = - 1 - i$ C、 $z = 1 - i$ D、 $z = 1 + i$

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5、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求其最小正周期；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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6、已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线.

(1)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{B C} = 2 \vec{a} + 8 \vec{b}, \vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，求证： $A, B, D$ 三点共线；

(2)、试确定实数 $k$ ，使 $k \vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} + k \vec{b}$ 共线.

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7、已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 1) i(m \in R)$ .

(1)、若z为实数，求m值：

(2)、若z为纯虚数，求m值；

(3)、若复数z对应的点在第一象限，求m的取值范围.

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8、 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角为锐角，则 $m$ 的取值范围为.

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9、已知关于x的方程 $x^{2} - p x + 25 = 0 (p \in R)$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $x_{1} = 3 + 4 i$ ，则实数p的值为.

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10、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 为奇函数 B、函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $g (x)$ 的图象的对称轴为直线 $x = k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ D、函数 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + k π, \frac{π}{12} + k π] (k \in Z)$

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11、已知两个非零单位向量 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $θ$ .以下结论正确的是（）

A、不存在 $θ$ ，使 ${\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2} = \sqrt{2}$ B、 $|{\vec{e}}_{1} - 2 {\vec{e}}_{2}| = |2 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}|$ C、 $({\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}) ⊥ ({\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2})$ D、 ${\vec{e}}_{1}$ 在 ${\vec{e}}_{2}$ 方向上的投影向量的模为 $\sin θ$

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12、点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在圆 $O$ 上，若 $|A B| = 2$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $\overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{A B}$ 的最大值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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13、第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得 $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ A C D = 105 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ ， $∠ A D B = 60 °$ ，则A，B两个基站的距离为（）

A、 $10 \sqrt{6}$ km B、 $30 (\sqrt{3} - 1)$ km C、15km D、 $10 \sqrt{5}$ km

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sin^{2} A - \sin^{2} C + \sin^{2} B = \sin A \sin B$ ，且 $c = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、在 $△ A B C$ 中，若 ${\vec{B C}}^{2} = 2 \vec{A B} \cdot \vec{C B}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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16、已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 均为非零向量， $(\overset{⇀}{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ， $|\overset{⇀}{a}| = |\overset{⇀}{b}|$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、在 $△ A B C$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $\vec{B G} = x \vec{C B} + y \vec{C A}$ .则 $x + y =$ （）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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18、下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\cos^{2} \frac{π}{12} - \sin^{2} \frac{π}{12}$ B、 $\frac{\tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °}$ C、 $4 \sin 195 ° \cos 195 °$ D、 $\sqrt{\frac{1 + \cos \frac{π}{6}}{2}}$

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19、已知复数 $z = 2 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- i$ C、1 D、 $- 1$

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20、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ．

(1)、已知平面内点 $A (2, 4)$ ，点 $B (2 + \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$ ，若把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 得到点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、已知 $\vec{A B} = (1, 1)$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ， $\vec{C D} = (2, 6)$ ，若 $\vec{A P} ⊥ \vec{C D}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值．

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