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1、实数k为何值时，复数(1＋i)·k²－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：

(1)、实数？

(2)、虚数？

(3)、纯虚数？

(4)、零？

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2、

(1)、化简下列各式：
① $2 (\vec{a} + \vec{b}) - 2 (\vec{a} - \vec{b})$ ；
② $\vec{P A} + \vec{D C} - \vec{P B} - \vec{D A}$ .

(2)、已知向量 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ de 夹角为 $\frac{π}{3}$ .
①求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；
②求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ .

(3)、已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (3, - 1)$ .
①求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ ；
②若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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3、已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 3) i$ ， $m \in R$ （i为虚数单位）．

(1)、当 $m = 2$ 时，求复数 $z \bar{z}$ 的值；

(2)、若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．

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4、已知 $f (α) = \frac{s i n (- α - \frac{5 π}{2}) c o s (\frac{3 π}{2} + α) t a n^{2} (π - α)}{c o s (\frac{π}{2} - α) s i n (π - α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α$ 的值.

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5、已知 $\vec{a} = 3$ ， $\vec{b} = 2$ ， $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = 60 °$ ，若 $(3 \vec{a} + 5 \vec{b}) ⊥ (m \vec{a} - 5 \vec{b})$ ，则 $m =$ .

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6、在 $△ A B C$ 中，a=7，b=4 $\sqrt{3}$ ， c= $\sqrt{13}$ ，则 $△ A B C$ 的最小角的大小为.

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7、已知 $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{4} + α) =$

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8、已知函数 $f (x) = s i n x + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 轴对称 D、 $f (x)$ 的值域为 $[0, 2]$

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9、已知向量 $\vec{O A} = (s i n β, c o s β)$ ，将向量 $\vec{O A}$ 可绕坐标原点O逆时针旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{O B}$ （ $0^{°} < θ < 9 0^{°}$ ），则下列说法正确的是（）

A、 $| \vec{O A} | + | \vec{O B} | > | \vec{O A} - \vec{O B} |$ B、 $| \vec{A B} | < \sqrt{2}$ C、 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ D、 $(\vec{O A} + \vec{O B}) ⊥ (\vec{O A} - \vec{O B})$

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10、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边，若 $a = \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，且 $s i n A + s i n (B - C) - 2 s i n 2 C = 0$ ，则边 $c$ 的大小可能是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $4$

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11、若复数z满足 $\frac{\bar{z} - 1}{z + i} = i - 1$ ，则（）

A、 $| z | = 2$ B、 $\bar{z} - 2 z = - 1 + 6 i$ C、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在直线 $y = 2 x$ 上 D、 $z^{2} - {\bar{z}}^{2}$ 的虚部为 $- 8$

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12、若函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s x - s i n x$ ，则 $f (x)$ 可以化简为（）

A、 $2 c o s (x + \frac{π}{3})$ B、 $2 c o s (x - \frac{π}{3})$ C、 $2 c o s (x + \frac{π}{6})$ D、 $2 c o s (x - \frac{π}{6})$

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13、若 $s i n (π + α) = - \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (2 α + π) =$ （）

A、 $- \frac{7}{15}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{25}$

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14、如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为 $60 °$ 的菱形组成，那么图形中的向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{C D}$ 的数量积 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} =$ （）

A、 $\frac{17}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $8$ D、 $7$

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15、已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形

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16、已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{3 + i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、2 B、 $2 i$ C、1 D、 $i$

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17、设平行四边形 $A B C D$ 的两条对角线AC与BD交于点O， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{O A} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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18、复数 $(a^{2} - 3 a + 2) + (a - 1) i$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为

A、 $2$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $1$ 或 $2$

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19、已知 $z = \frac{2 + i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数在复平面上的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 $A B C D$ 内举行机器人拦截挑战赛，在 $E$ 处按 $\vec{E P}$ 方向释放机器人甲，同时在 $A$ 处按 $\vec{A Q}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在 $M$ 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域 $A B C D$ 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知 $A B = 6$ 米， $E$ 为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\vec{E P}$ 与 $\vec{E B}$ 的夹角为 $θ (0 < θ < π)$ ， $\vec{A Q}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角为 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ .

(1)、若两机器人运动方向的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $A D$ 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

(2)、已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
①若 $α = θ = \frac{π}{3}$ ， $A D$ 足够长，求机器人乙能否挑战成功.
②如何设计矩形区域 $A B C D$ 的宽 $A D$ 的长度，才能确保无论 $θ$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $α$ 使机器人乙挑战成功？

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