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1、“向量”是近代数学中最重要的概念之一，由n个实数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 所组成的有序实数组称为 $n$ 维向量，记作 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，特别地， $\vec{0} = (0, 0, \dots, 0)$ 称为零向量，所有 $n$ 维向量组成的集合记为 $R^{n} = \{\vec{a} ∣ \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), a_{i} \in R, i = 1, 2, \dots, n\}$ ．设 $λ \in R, \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，定义加法和数乘分别为： $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{n} + b_{n}), λ \vec{a} = (λ a_{1}, λ a_{2}, \dots, λ a_{n}) .$ 对一组向量 $\vec{m_{1}}, \vec{m_{2}}, \dots, \vec{m_{s}} (s \in N^{*}, s \geq 2)$ ，若存在一组不全为零的实数 $λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{s}$ ，使得 $λ_{1} {\vec{m}}_{1} + λ_{2} \vec{m_{2}} + \dots + λ_{s} \vec{m_{s}} = \vec{0}$ ，则称这组向量线性相关；否则，称为线性无关．

(1)、若 $n = 3$ ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由；
① $\vec{a} = (1, 1, 1), \vec{b} = (3, 3, 3)$ ；
② $\vec{a} = (1, 1, 2), \vec{b} = (3, 3, 6), \vec{c} = (2, 4, 5)$ ；

(2)、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 线性无关，判断 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ 是线性相关还是线性无关，并说明理由；

(3)、已知 $t (t \geq 2)$ 个向量 $\vec{m_{1}}, \vec{m_{2}}, \dots, {\vec{m}}_{t}$ 线性相关，但其中任意 $t - 1$ 个向量都线性无关，证明：
①如果存在等式 $λ_{1} {\vec{m}}_{1} + λ_{2} {\vec{m}}_{2} + \dots + λ_{t} {\vec{m}}_{t} = \vec{0} (λ_{i} \in R, i = 1, 2, \dots, t)$ ，则这些系数 $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{t}$ 或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 $λ_{1} \vec{m_{1}} + λ_{2} \vec{m_{2}} + \dots + λ_{t} \vec{m_{t}} = \vec{0}, μ_{1} \vec{m_{1}} + μ_{2} \vec{m_{2}} + \dots + μ_{t} \vec{m_{t}} = \vec{0}$ $(λ_{i} \in R, μ_{i} \in R, i = 1, 2, \dots, t)$ 同时成立，其中 $μ_{1} \neq 0$ ，则 $\frac{λ_{1}}{μ_{1}} = \frac{λ_{2}}{μ_{2}} = \dots = \frac{λ_{t}}{μ_{t}}$ ．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, D, E$ 分别为边 $B C$ 上的点，已知 $a = 3$ ，且 $\sqrt{3} \sin B + 3 \cos B = c$ ，

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $b + c = 5$ ，求线段 $A D$ 的长度；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $E$ 为 $B C$ 中点，求线段 $A E$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{6} \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin^{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，关于 $x$ 的不等式 $m f (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) + f (x + \frac{π}{6}) \geq 4 \sqrt{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、如图，已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B = 2, A_{1} B_{1} = 1$ ，点 $M$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，

(1)、若 $\vec{A N} = 3 \vec{N B}$ ，证明 $M N //$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 2$ ，求正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积．

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5、已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} \cos θ, \sin θ), \vec{b} = (1, - 2)$ ，

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $3 \sin^{2} θ + \cos^{2} θ$ 的值；

(2)、若 $θ = 150^{°}$ ，且 $(t \vec{a} + \vec{b}) // (2 \vec{a} - 3 \vec{b})$ ，求 $t$ 的值．

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6、已知圆台的上下底面半径分别为 $\frac{\sqrt{3}}{3}, 2 \sqrt{3}$ ，侧面积为 $\frac{70}{3} π$ ，在圆台内部放置一个正四面体，使其可以任意转动，则该正四面体的体积的最大值为．

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7、在复数范围内分解因式： $x^{2} - 2 x + 2 =$ .

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8、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为.（用坐标表示）

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9、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为线段BC上的点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，过点 $D$ 的直线分别与AB，AC所在直线相交于点P，Q，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B}, \vec{A Q} = μ \vec{A C}, (λ > 0, μ > 0)$ ，则（）

A、 $3 λ + μ = 4 λ μ$ B、 $λ μ$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ C、 $λ + μ$ 的最小值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $λ + μ$ 的最小值为 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10、已知空间中有直线 $a, b, c,$ 有平面 $α, β, γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $c ⊥ b$ ，则 $a // c$ B、若 $a // γ$ ， $b // γ$ ，则 $a // b$ C、若 $α \cap β = a, b \subset α, c \subset β$ ，且 $b // c$ ，则 $a // b // c$ D、若 $α // β$ ， $β // γ$ ，则 $α // γ$

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11、设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O M}$ ，则点 $M$ 是 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、内心 C、垂心 D、外心

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12、已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $1 \leq | z + 1 + 2 i | \leq 2$ ，则 $| z - 2 + 3 i |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{10} + 2$ B、 $\sqrt{10} - 2$ C、 $\sqrt{10} + 1$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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13、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 3, A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 和 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{23}{50}$ B、 $\frac{23}{50}$ C、 $- \frac{32}{25}$ D、 $\frac{32}{25}$

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14、 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 对应的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，解下列三角形，只有一解的时（）

A、 $B = 30^{°}, c = 4, b = 3$ B、 $B = 60^{°}, c = 4, b = 3.5$ C、 $C = 45^{°}, a = 2, c = \sqrt{3}$ D、 $C = 30^{°}, a = 3, c = 2 \sqrt{3}$

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15、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，且 $\vec{F D} = 2 \vec{A F}, \vec{B G} = 2 \vec{G C}$ ，设 $\vec{E F} = \vec{a}, \vec{E G} = \vec{b}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{E D} = \frac{4}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{E D} = \frac{4}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{E D} = \frac{5}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{E D} = \frac{5}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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16、若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 2, |\vec{c}| = 4$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、2 B、8 C、 $\sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、2或8

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17、 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知 $i$ 为虚数单位，计算 ${(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2024} =$ （）

A、 $i$ B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $1$

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19、“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且 $P Q / / O A$ ．

(1)、求扇形空地AOB的周长和面积；

(2)、当 $O Q = 50$ 米时，求PQ的长；

(3)、综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区 $△ O P Q$ 的面积尽可能的大．设 $∠ A O P = θ$ ，求 $△ O P Q$ 面积的最大值．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面ABCD， $P D = λ C D$ ，点E在棱PC上．

(1)、若底面ABCD是边长为2的正方形， $P A / /$ 平面EBD，试确定点E的位置（图1），并说明理由；

(2)、若底面ABCD是梯形，且 $A B / / C D, A B = \frac{1}{2} C D$ ，点E是PC的中点（图2），证明 $B E / /$ 平面PAD；

(3)、在（1）的条件下是否存在实数 $λ$ ，使三棱锥 $E - B P D$ 体积为 $\frac{4}{3}$ ，若存在、请求出具体值，若不存在，请说明理由；

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