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1、如图，已知 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点 $G$ 是 $△ A B C$ 内一点.过点 $G$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $D$ ，与线段 $A C$ 交于点 $E$ .设 $\vec{A D} = λ \vec{A B}, \vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，且 $λ \neq 0, μ \neq 0$ .

(1)、若 $\vec{A G} = \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，求 $△ G A B$ 的面积 $S_{△ G A B}$ ；

(2)、求 $\vec{G A} \cdot (\vec{G B} + \vec{G C})$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，设 $△ A D E$ 的周长为 $c_{1}$ .
（i）求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的值；
（ii）设 $t = λ μ$ ，记 $f (t) = \frac{1}{3} c_{1} - t$ ，求 $f (t)$ 的值域.

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2、杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门” $A B$ 的高度，该小组同学在该建筑底部 $B$ 的东南方向上选取两个测量点 $C$ 与 $D$ ，测得 $C D = 347$ 米，在 $C, D$ 两处测得该建筑顶部的仰角分别为 $∠ A C B = α = 60^{\circ}, ∠ A D B = β = 30^{\circ}$ .（已知 $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、请计算“杭州之门” $A B$ 的高度（保留整数部分）；

(2)、为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上 $A$ 到 $E$ 处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知 $A E = 100$ 米，高 $A B$ 直接取（1）的整数结果，市民在底部 $B$ 的东南方向的 $F$ 处欣赏“灯光秀”（如图），请问当 $B F$ 为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角 $θ$ 最大？（结果保留根式）

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3、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为线段 $B C$ 上的点， $A B = 6, A C = 4, A D ⊥ B C, M, N$ 分别为 $A B, A C$ 的中点.

(1)、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + λ \vec{A C}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $\vec{D M} \cdot \vec{D N} = - 3$ ，求 $B C$ 的长度；

(3)、若 $\frac{\vec{D M} \cdot \vec{D B}}{|\vec{D B}|} + \frac{\vec{D N} \cdot \vec{D C}}{|\vec{D C}|} = 3$ ，求 $cos ∠ B A C$ 的值.

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4、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c, D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $a = b$ ，且 $\sqrt{3} (a \cos C + c \cos A) = 2 b \sin B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $D A = 2, D C = 1$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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5、已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数，复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = \bar{z} + 1$

(1)、求 $|z|$ 的值；

(2)、在复平面内，若 $z_{1} = \bar{z} - \frac{3}{m} + (m^{2} - 3 m + 1) i$ 对应的点在第三象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为单位向量，设向量 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $|\vec{e_{1}} - \frac{1}{2} \vec{e_{2}}| \leq 1$ ，求 ${cos}^{2} θ$ 的取值范围.

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7、瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数， $i$ 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求 $|e^{θ i} - e^{\frac{π}{2} i}|$ 的最大值为.

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} + 2 \vec{a})$ ，则 $x =$ .

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9、已知锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，下列命题正确的是（）

A、“ $\sin A > \cos B$ ”是“ $A + B > \frac{π}{2}$ ”的必要不充分条件 B、若 $a^{2} \tan B = b^{2} \tan A$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A}$ 的取值范围 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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10、已知单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ (0 < θ < π)$ ，若平面向量 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} (x, y \in R)$ ，有序实数对 $(x, y)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在“仿射”坐标系 $x O y$ （ $O$ 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记 $\vec{a} = {(x, y)}_{θ}$ ，则下列命题正确的是（）

A、已知 $\vec{a} = {(x_{1}, y_{1})}_{θ}, \vec{b} = {(x_{2}, y_{2})}_{θ}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} = {(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})}_{θ}$ B、已知 $\vec{O A} = {(1, 0)}_{\frac{π}{3}}, \vec{O B} = {(0, 1)}_{\frac{π}{3}}$ ，则线段 $A B$ 的长度为1 C、已知 $\vec{a} = {(2, - 1)}_{\frac{π}{3}}, \vec{b} = {(1, 2)}_{\frac{π}{3}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、已知 $\vec{a} = {(x, y)}_{\frac{π}{3}}, |\vec{a}| = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11、已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数，复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z} - 1}{z + i} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ ，则下列正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $|z| = \sqrt{5}$ C、 $\frac{\bar{z}}{1 - 2 i}$ 是纯虚数 D、若 $z$ 是方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p + q = 18$

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c, sin C = 2 sin B$ ， $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 依次是边 $B C$ 的四等分点（ $M_{1}$ 靠近 $B$ 点），记 $d_{1} = \vec{A M_{1}} \cdot \vec{A M_{2}}, d_{2} = \vec{A M_{1}} \cdot \vec{A M_{3}}, d_{3} = \vec{A M_{2}} \cdot \vec{A M_{3}}$ ，则（）

A、 $d_{3} > d_{2} > d_{1}$ B、 $d_{3} > d_{1} > d_{2}$ C、 $d_{1} > d_{3} > d_{2}$ D、 $d_{1} > d_{2} > d_{3}$

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13、 $D$ 是 $Rt △ A B C$ 斜边 $B C$ 上一点，若 $A B = A D, A C = \sqrt{3} D C$ ，则 $sin ∠ A B C$ 的值（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{c}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{c} = 1, \vec{b} \cdot \vec{c} = - 3, |\vec{a} + \vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{7}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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15、在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, B C = 6, A C = 7$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{15}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $6 \sqrt{6}$

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16、已知正三角形 $A B C$ 的边长为1，则 $|\vec{A C} - \vec{C B}|$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, 1)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2, - 4), \vec{e_{2}} = (- 1, 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (- 2, 3), \vec{e_{2}} = (4, 2)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (1, - \frac{3}{2})$

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18、已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(- 1, 2)$ ，则 $(1 + i) \cdot z =$ （）

A、 $- 3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $- 1 - 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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19、对于任意两个正数 $a, b (a < b)$ ，记区间 $[a, b]$ 上曲线 $y = f (x)$ 下的曲边梯形面积为 $S (a, b)$ ，并规定 $S (a, a) = 0$ ， $S (a, b) = - S (b, a)$ ，记 $S (a, x) = F (x) - F (a)$ ，其中 $f (x) = F^{'} (x)$ ．

(1)、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ 时，求证： $S (1, 2) = S (5, 10)$ ；

(2)、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ 时，求证： $\frac{b - a}{S (a, b)} < \frac{a + b}{2}$ ；

(3)、若 $f (x) = ln x + 1$ ，直线 $y = e$ 与曲线 $S (1, x)$ 交于 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 两点，求证： $0 < x_{1} x_{2} < \frac{1}{e^{2}}$ （其中 $e$ 为自然常数）．

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20、已知圆心在 $x$ 轴上移动的圆经过点 $A (- 4, 0)$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B (x, 0)$ ， $C (0, y)$ 两个动点．

(1)、求点 $P (x, y)$ 的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过 $A (- 4, 0)$ 作直线与曲线 $Γ$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点．
（i） $E (2, 0)$ ，直线 $E M$ ， $E N$ 与曲线 $Γ$ 的另一个交点分别为 $D$ ， $F$ ，证明直线 $D F$ 过定点，并求出该定点；
（ii） $\{E_{n} (n, 0)\} (n = 1, 2, 3, \dots, n \in N^{*})$ 为点列，直线 $M E_{n}$ ， $N E_{n}$ 与曲线 $Γ$ 的另一个交点分别为 $D_{n}$ ， $F_{n}$ ，若数列 $\{\frac{S_{△ M N E_{n}}}{S_{△ D_{n} E_{n} F_{n}}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明 $16 \leq T_{n} < 32$ ．

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