相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别是边 $A B$ ， $B C$ 的中点，连结 $D E$ ，点F在 $D E$ 上，连结 $F B$ ， $F C$ ，若 $F B ⊥ F C$ ， $B C = 6$ ， $D F = 1$ ，则 $A C$ 的长为．

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2、 $A$ 市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的 $A$ 处，观测镜头 $C$ 距地面 $1.5$ 米，此时测得高炉顶端 $M$ 的仰角 $α = 30 °$ ，再将测角仪移至地面的 $B$ 处，测得高炉顶端 $M$ 的仰角 $β = 45 °$ ，已知 $A ， B$ 相距 $20$ 米，高炉底部 $N$ 与 $A ， B$ 在同一水平线上．则高炉 $M N$ 的高度约为米．（计算结果精确到 $1$ 米）．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ．）

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3、甲、乙两位同学分别从足球、篮球两个社团中随机选取一个报名，那么他们恰好选择同一社团的概率为．

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4、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记 $∠ P O A = θ (0 < θ < 90 °),$ 若 $5 O B = 6 B C = 30$ ，那么 $\frac{O P}{O A} \cdot cos θ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、1 D、 $\frac{3}{4}$

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5、函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象经过 $P (m, y_{1})$ ， $Q (m + 2, y_{2})$ 两点，则下列选项中正确的是（）

A、当 $m < 0$ 时， $y_{1} < y_{2}$ B、当 $- 2 < m < 0$ 时， $y_{1} > y_{2}$ C、当 $m > - 2$ 时， $y_{1} < y_{2}$ D、当 $m < - 2$ 或 $m > 0$ 时， $y_{1} > y_{2}$

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6、我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每 $3$ 人坐一辆车，则有 $2$ 辆车是空的；如果每 $2$ 人坐一辆车，那么有 $9$ 人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为 $x$ 人，则可列方程（）

A、 $3 x - 2 = 2 (x - 9)$ B、 $\frac{x}{3} - 2 = \frac{x}{2} - 9$ C、 $3 x - 2 = 2 x - 9$ D、 $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$

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7、若关于x的不等式组 $\{\begin{matrix} x \geq m \\ 2 (x + 1) < 4 \end{matrix}$ 无解，则m的取值范围为（）

A、 $m > 1$ B、 $m < 1$ C、 $m \geq 1$ D、 $m \leq 1$

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8、我国2000多年前的《墨经》中记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉同学制作了一个简易小孔成像仪用来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是 $3$ 厘米，则蜡烛火焰的实际高度为（）

A、 $1$ 厘米 B、 $2$ 厘米 C、 $3$ 厘米 D、 $4$ 厘米

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9、一组数据从小到大排列为 $- 1$ ， $0$ ， $4$ ， $x$ ， $6$ ， $16$ ，这组数据的中位数为 $5$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $5.5$ D、 $6$

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10、下列计算正确的为（）

A、 $\sqrt{4} = \pm 2$ B、 ${(\sqrt{4})}^{2} = 2$ C、 $\sqrt{4 + 9} = 2 + 3$ D、 $\sqrt{4 \times 9} = 2 \times 3$

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11、下图是由三个小正方体叠成的一个几何体，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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12、 $2025$ 年央视蛇年春晚全媒体观看人次再创新高，截至 $1$ 月 $29$ 日，观看人次达 $168$ 亿，较去年增长了 $18.31 %$ ，数据“ $168$ 亿”用科学记数法可表示为（）

A、 $168 \times 10^{8}$ B、 $16.8 \times 10^{9}$ C、 $1.68 \times 10^{10}$ D、 $0.168 \times 10^{11}$

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13、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $D$ 为直线 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $B D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $30 °$ 至线段 $B D^{'}$ ，直线 $B D^{'}$ 与直线 $A C$ 交于点 $E$ ．

(1)、如图1，当 $B A$ 平分 $∠ E B D$ 时，连接 $A D^{'}$ ，求证： $△ A E D^{'} ∽ △ C B D$ ；

(2)、如图2，当点 $D$ 与点 $A$ 重合时，连接 $A D^{'}$ ，求 $A D^{'}$ 的值；

(3)、过点 $D$ 作 $D F ⊥ B D^{'}$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ，当 $C F$ 最小时，求 $△ C F D$ 的面积．

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14、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，抛物线 $w$ ： $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，且 $\tan ∠ O B C = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图2，点 $D$ 为抛物线上一点，且位于第三象限， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，若 $\frac{D E}{C B} = \frac{1}{2}$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、抛物线 $w_{1}$ 与抛物线 $w$ ： $y = a x^{2} + b x + c$ 关于原点对称，抛物线 $w_{1}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $F$ ，作 $G F ⊥ A F$ 交直线 $A B$ 于点 $G$ ，在抛物线 $w_{1}$ 上是否存在点 $H$ ，使得∠ $A G H = 2 ∠ B A O$ ，若存在，求出点 $H$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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15、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{2}{5} \sqrt{3} x^{2} + \frac{2}{5} \sqrt{3} x + \frac{12}{5} \sqrt{3}$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，过顶点 $C$ 的直线 $l ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，点 $M$ 为线段 $B C$ 上一点，点 $N$ 在线段 $C D$ 上，且 $C N = 2 B M$ ，当 $\frac{1}{2} B N + D M$ 取最小值时，则 $D N =$ ．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $\sin ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，点 $D$ 为斜边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $△ B D C$ 沿 $B D$ 翻折得到 $△ B D E$ ， $B E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ，当 $D E ⊥ A C$ 时，则 $\frac{E D}{B D} =$

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17、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，点 $E$ 为边 $B C$ 上的中点，点 $F$ 为对角线 $B D$ 上一点，且 $\frac{D F}{B F} = \frac{3}{5}$ ，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为．

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18、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = a x + 2$ 与直线 $y = b x - 2$ 的图象交于点 $C$ ，点 $C$ 的横坐标为 $- 2$ ，则 $a - b =$ ．

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19、已知 $a$ ， $b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 ${(a - 2)}^{2} - a (1 - b)$ 的值为．

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20、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ ： $y = 2 x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象分别交于点 $A (- 1, a)$ 和点 $B$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的表达式；

(2)、如图2，直线 $l_{2}$ 经过点 $B$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，点 $D$ 将线段 $B C$ 分成 $C D$ ， $B D$ 两条线段，且 $\frac{C D}{B D} = \frac{1}{2}$ ，连接 $A D$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点 $E$ ，使 $△ B C E$ 是以 $B C$ 为斜边的直角三角形，若存在，请求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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