相关试卷

1、如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站， $A C = 120$ 米， $B C = 90$ 米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作 $A B$ 的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两村铺设．

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．

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2、计算： $\sqrt{12} \times \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{10} \div \sqrt{5} + \sqrt{8}$ ．

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3、如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为.

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以 $B C$ 、 $A B$ 、 $A C$ 为边向外作正方形，面积分别记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，若 $S_{2} = 4$ ， $S_{3} = 6$ ，则 $S_{1} =$ ．

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5、若 ${(\sqrt{a - 1})}^{2} = a - 1$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $a < 1$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \geq 1$

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6、如图，花城广场对岸有广州塔 $A B$ ，小明同学站在花城广杨的 $C$ 处看塔顶点 $A$ 的仰角为 $32 °$ ，向塔前进360米到达点 $D$ ，在 $D$ 处看塔顶点 $A$ 的仰角为 $45 °$ ．
（1）求广州塔 $A B$ 的高度（ $\sin 32 ° \approx 0.530$ ， $\cos 32 ° \approx 0.848$ ， $\tan 32 ° \approx 0.625$ ）；
（2）一架无人机从广州塔顶点 $A$ 出发，沿水平方向 $A F$ 飞行300米到达 $A^{'}$ 处，求此时从 $A^{'}$ 处看点 $D$ 的俯角的正切值．

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7、（1）解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 (x - 1) < 4 + 2 x ① \\ \frac{x - 9}{5} < 2 x ② \end{matrix}$
（2）已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(0, 1)$ 与点 $(2, 5)$ ，求该一次函数的表达式．

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8、单项式 $3 x^{m} y^{2}$ 与 $- 2 x^{5} y^{n}$ 是同类项，则 $m + n =$ ．

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9、如图，抛物线 $y = x^{2}$ 经过点A，以 $O A$ 为边作正方形 $O A B C$ 其顶点B恰好在x轴的正半轴上，若将抛物线 $y = x^{2}$ 平移，使其同时经过该正方形的三个顶点，则平移后抛物线的顶点坐标是（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(1, - 1)$

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10、下列计算正确的是（）

A、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$ B、 $a^{3} - a^{2} = a$ C、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ D、 $a^{4} \div a^{3} = a$

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11、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．
（3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．

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12、【证明体验】
（1）如图1， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A D C = 60 °$ ，点E在 $A B$ 上， $A E = A C$ ．求证： $D E$ 平分 $∠ A D B$ ．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为 $A B$ 上一点，连结 $F C$ 交 $A D$ 于点G．若 $F B = F C$ ， $D G = 2 ， C D = 3$ ，求 $B D$ 的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ，点E在 $A C$ 上， $∠ E D C = ∠ A B C$ ．若 $B C = 5 ， C D = 2 \sqrt{5}, A D = 2 A E$ ，求 $A C$ 的长．

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13、阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$
则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：∵一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，
∴ $m + n = 1$ ， $m m = - 1$ ，则 $m^{2} n + m n^{2} = m m (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ______， $x_{1} x_{2} =$ ______．

(2)、初步体验：已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为m、n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

(3)、类比应用：已知实数s、t满足 $s^{2} - 3 s - 1 = 0$ ， $t^{2} - 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

(4)、思维拓展：已知实数a、b、c满足 $a + b = c - 10$ 、 $a b = \frac{27}{4 (10 - c)}$ ，且 $c < 10$ ，求c的最大值．

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14、如图， $∠ M O N = 45 °$ ，正方形 $A B B_{1} C$ ，正方形 $A_{1} B_{1} B_{2} C_{1}$ ，正方形 $A_{2} B_{2} B_{3} C_{2}$ ，正方形 $A_{3} B_{3} B_{4} C_{3}$ ， …，的顶点 $A$ ， $A_{1}, A_{2}, A_{3} \dots$ ，在射线 $O M$ 上，顶点 $B, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, \dots$ ，在射线 $O N$ 上，连接 $A B_{2}$ 交 $A_{1} B_{1}$ 于点 $D$ ，连接 $A_{1} B_{3}$ 交 $A_{2} B_{2}$ 于点 $D_{1}$ ，连接 $A_{2} B_{4}$ 交 $A_{3} B_{3}$ 于点 $D_{2}$ ， …，连接 $B_{1} D_{1}$ 交 $A B_{2}$ 于点 $E$ ，连接 $B_{2} D_{2}$ 交 $A_{1} B_{3}$ 于点 $E_{1}$ ， …，按照这个规律进行下去，设四边形 $A_{1} D E D_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $A_{2} D_{1} E_{1} D_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，四边形 $A_{3} D_{2} E_{2} D_{3}$ 的面积为 $S_{3}$ ， …，若 $A B = 2$ ，则 $S_{n}$ 等于．（用含有正整数 $n$ 的式子表示）．

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15、如图，将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，折痕为 $M N$ ，点M，N分别在边 $A D$ ， $B C$ 上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部， $M F$ 的延长线交边 $B C$ 于点G， $E F$ 交边 $B C$ 于点H． $E N = 2$ ， $A B = 4$ ，当点H为 $G N$ 三等分点时， $M D$ 的长为

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16、若x、y、z为非负实数，且 $\{\begin{cases} x + 2 y - z = 4 \\ x - y + 2 z = 1 \end{cases}$ ，则代数式 $x^{2} - 3 y^{2} + z^{2}$ 的最大值与最小值的差是．

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17、若实数x满足 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则 $2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 2025 =$ ．

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18、如图，建筑物 $B C$ 上有一旗杆 $A B$ ，从与 $B C$ 相距 $20 m$ 的 $D$ 处观测旗杆顶部 $A$ 的仰角为52°，观测旗杆底部 $B$ 的仰角为45°，求旗杆 $A B$ 的高度（结果保留小数点后一位．参考数据： $\sin 52 ° \approx 0.79$ ， $\cos 52 ° \approx 0.62$ ， $\tan 52 ° \approx 1.28$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）．

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19、2024年12月21日，第十一届全国大众冰雪季（重庆分会场）在某国际滑雪场火热开启．某校九年级1班数学学习兴趣小组针对本年级同学，就本次活动的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图表信息，解答下列问题：

(1)、九年级一共______人，其中B类所对应的圆心角为______；并将条形统计图补充完整．

(2)、若全校一共有500名学生，根据上述调查结果，请估计全校有D类学生多少人．

(3)、现从九年级非常关注本次活动的3名男生和2名女生滑雪爱好者中任选两人参加2024年川渝挑战赛，请用树状图或列表法求恰好选到男生、女生各一人的概率．

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20、如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，AE＝AB，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．

(1)、求证：EF＝BC；

(2)、若∠B＝62°，∠ACB＝24°，求∠FGC的度数．

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