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1、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (m, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、6 D、 $- 6$

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2、一般地，当 $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ 时，方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ (a > b > 0)$ 表示的椭圆 $C_{λ}$ 称为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的相似椭圆．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，椭圆 $C_{λ}$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆 $C_{λ}$ 上异于其左，右顶点M，N的任意一点．

(1)、当 $λ \in (0, 1)$ 时，直线 $y = m x + n (m > 0, n < 0)$ 与椭圆C， $C_{λ}$ 自上而下依次交于R，Q，S，T四点，探究 $|R Q|$ ， $|S T|$ 的大小关系，并说明理由．

(2)、当 $λ = e^{2}$ （e为椭圆C的离心率）时，设直线 $P M$ 与椭圆C交于点A，B，直线 $P N$ 与椭圆C交于点D，E，求 $|A B| + |D E|$ 的值．

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3、已知函数 $f (x) = a e^{- x} + x - a$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sin \frac{1}{n + 1} + \sin \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \sin \frac{1}{2 n} < \ln 2$ ．

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4、高一（1）班每周举行历史答题擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂组，下周由3位同学组成攻擂组挑战，已知每位守擂同学答对每道题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每位攻擂同学答对每道题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每道题每位同学答题互不影响.每道题由每组成员依次答题，只要有一人答对，则这道题该组得1分，否则这道题该组得0分.为提高攻擂同学的积极性，第一题由攻擂组先答，若该组同学均未答对，再由守擂组答；从第二题开始，两组进行抢答，抢到的组回答，且不管其是否答对，另一组不能补答.已知抢答环节每题守擂组抢到的概率均为 $\frac{3}{8}$ .

(1)、求攻擂组答第一题得1分的概率；

(2)、求守擂组在第一题后得0分的概率；

(3)、设 $X$ 为三题后守擂组的得分，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ .

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5、在五面体 $A B C D E F$ 中， $A D / / C F$ ， $A D = C F = 2$ ， $E F = 4$ ， $C A = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ C F E = \frac{π}{3}$ ， $F D ⊥ B E$ ，平面 $A B E D ⊥$ 平面 $A C F D$ .

(1)、证明： $C F / / B E$ ，并求出 $C F$ ， $B E$ 之间的距离；

(2)、求出平面 $E F D$ 和平面 $B C F E$ 夹角的余弦值.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数， $a_{2} > a_{1}$ ，记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．

(1)、从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列；②数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 是等差数列；③ $a_{2} = 2 a_{1}$ ．

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，在（1）的条件下，将在数列 $\{a_{2 n}\}$ 中，但不在数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 中的项从小到大依次排列构成数列 $\{b_{n}\}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和．

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7、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c = b sin \frac{A}{2} + a cos B$ ．

(1)、求A；

(2)、若D是边 $B C$ 上一点（不包括端点），且 $∠ A B D = ∠ B A D$ ，求 $\frac{C D}{B D}$ 的取值范围．

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8、在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $1, 2, 3, 4$ 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了 $1$ 号箱，用 $A_{i}$ 表示 $i$ 号箱有奖品（ $i = 1, 2, 3, 4$ ），用 $B_{i}$ 表示主持人打开 $i$ 号箱子（ $i = 2, 3, 4$ ），则 $P (B_{3}| A_{1}) =$ ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为．

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9、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x}, x \leq 2 \\ a x^{2} - 13 x + 31, x > 2 \end{array}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为．

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10、在 $(a x - 1) {(2 x - 1)}^{3}$ 的展开式中，若各项系数的和为 $0$ ，则 $x^{3}$ 的系数为．

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11、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $A B = 1$ ， E，F分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $C D$ 的中点，点M是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上一动点（含边界），则下列结论正确的是（）

A、 $E F$ ∥平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若 $∠ M A_{1} F = ∠ E A_{1} F$ ，则点M的轨迹为抛物线的一部分 C、以 $E F$ 为直径的球面与正四棱柱各棱共有16个公共点 D、以 $E F$ 为直径的球面与正四棱柱各侧面的交线总长度为 $2 \sqrt{2} π$

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12、已知函数 $f (x) = 2 (cos x + sin x) cos x - 1$ ，则（）

A、 $f (x) \geq f (\frac{5 π}{8})$ B、 $f (1) > f (2)$ C、 $f (\frac{π}{8} + x) + f (\frac{π}{8} - x) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (\frac{k π}{6}) = \sqrt{3}$

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13、在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100)$ 五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（）

A、图中a的值为0.005 B、低于70分的考生人数约为40人 C、考生成绩的平均分约为73分 D、估计考生成绩第80百分位数为83分

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14、在乎面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线 $l : 2 x + y - 5 = 0$ ，点 $A, B$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上两动点，且满足 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $A, B$ 到直线 $l$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5} - 2$ C、 $2 \sqrt{5} - \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5} - 1$

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15、已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，O为四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 对角线的交点，设四棱锥 $O - B C C_{1} B_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} : V_{2} =$ （）

A、 $2 : 3$ B、 $1 : 3$ C、 $1 : 4$ D、 $1 : 6$

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16、设向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，当 $x_{1} \geq x_{2}$ ，且 $y_{1} > y_{2}$ 时，则记作 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ ；当 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $y_{1} \leq y_{2}$ 时，则记作 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ ，有下面四个结论：
①若 $\vec{a} = (2, - 4)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ ；
②若 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ 且 $λ \vec{a} ≫ μ \vec{b}$ ，则 $λ \geq μ$ ；
③若 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ ，则对于任意向量 $\vec{c}$ ，都有 $\vec{a} - \vec{c} ≫ \vec{b} - \vec{c}$ ；
④若 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ ，则对于任意向量 $\vec{c}$ ，都有 $\vec{a} \cdot \vec{c} \leq \vec{b} \cdot \vec{c}$ ；
其中所有正确结论的序号为（）

A、①②③ B、②③④ C、①③ D、①④

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17、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 $cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{6}$ ， $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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18、已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 1.1}$ ， $b = 4^{0.6}$ ， $c = {log}_{3} 8$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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19、等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $a_{2} + a_{4} = 5$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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20、当 $- \frac{1}{2} < m < 2$ 时，复数 $\frac{m + i}{2 + i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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