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1、已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 $x$ 千件并全部销售完，销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{array}{l} (10.8 - \frac{1}{30} x^{2}) x, (0 < x \leq 10) \\ 108 - \frac{1000}{3 x}, (x > 10) \end{array}$ （注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 年总成本）

(1)、写出年利润 $W$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.

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2、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $12 b^{2} sin A + 2 a b + \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{\cos C} = 0.$

(1)、求 $\sin A \cos C$

(2)、若 $sin A = \frac{1}{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{6 \sqrt{2} - \sqrt{3}}{4}$ ，求a的值.

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线C上一点．若当 $P F_{2}$ 与x轴垂直时，有 $∠ P F_{1} F_{2} = 45 °$ ，则双曲线C的离心率为．

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4、已知平面内两定点 $M (0, - 2)$ 和 $N (0, 2)$ 与一动点 $P (x, y)$ P(x，y)，满足 $|\vec{P M}| \cdot |\vec{P N}| = m (m \geq 4)$ ，若动点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ，则下列关于曲线E的说法正确的是（）

A、存在 $m$ ，使曲线 $E$ 过坐标原点； B、曲线 $E$ 关于 $y$ 轴对称，但不关于 $x$ 轴对称； C、若 $P, M, N$ 三点不共线，则 $△ P M N$ 周长最小值为 $2 \sqrt{m} + 4$ ； D、曲线 $E$ 上与 $M, N$ 不共线的任意一点 $G$ 关于原点对称的点为 $H$ ，则四边形 $G M H N$ 的面积不大于 $m$ .

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5、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 是 $a_{n}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{18} < 0$ ， $S_{19} > 0$ ，则有限项数列 $\frac{S_{1}}{a_{1}}, \frac{S_{2}}{a_{2}}, \cdot \cdot \cdot, \frac{S_{18}}{a_{18}}, \frac{S_{19}}{a_{19}}$ 中，最大项和最小项分别为（）

A、 $\frac{S_{9}}{a_{9}}, \frac{S_{18}}{a_{18}}$ B、 $\frac{S_{9}}{a_{9}}, \frac{S_{10}}{a_{10}}$ C、 $\frac{S_{19}}{a_{19}}, \frac{S_{10}}{a_{10}}$ D、 $\frac{S_{19}}{a_{19}}, \frac{S_{18}}{a_{18}}$

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6、若 $\sin α + cos (π - α) = \frac{3}{4}, α \in (0, π)$ ，则 $sin (a + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{\sqrt{46}}{8}$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{46}}{8}$

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7、已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，设点M、N满足 $\overset{⃑}{A M} = λ \overset{⃑}{A B}$ ， $\overset{⃑}{A N} = μ \overset{⃑}{A D}$ .若 $\overset{⃑}{C M} \cdot \overset{⃑}{C N} = 1$ ，则 $λ^{2} + 2 µ^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8、已知集合 $A = \{x \in N^{*} ∣ x^{2} - 5 x \leq 0\}, B = {x \in Z ∣ |x - 1| < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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9、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为BD的中点， $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，且 $V_{A - B C D} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

(1)、求三棱锥 $A - B C D$ 的高；

(2)、求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；

(3)、在棱AD上是否存在点 $E$ ，使二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $45 °$ ？若存在，并求出 $\frac{A E}{D E}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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10、已知圆C过 $A (1, - \sqrt{7})$ ， $B (6, 2 \sqrt{3})$ ，且圆心C在x轴上．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $D (2, 10)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 分别与直线 $x = 8$ 相交于P，Q，记 $△ O M N$ ， $△ O P Q$ 面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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11、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点，P为C上一点.

(1)、若 $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，点P的坐标为 $(0, - 3)$ ，求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为4，求b的值.

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12、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 3$ ，点E在棱AB上移动．

(1)、证明： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求平面 $A C D_{1}$ 的法向量．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $| A P | = | A B | = 2$ ， $| A D | = 4$ ， $E$ 是 $B C$ 上的点，直线 $P B$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $B E$ 的长为.

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14、若方程 $\frac{x^{2}}{6 - k} + \frac{y^{2}}{k - 2} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为.

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15、过圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心且与直线 $x + y = 0$ 垂直的直线方程为．

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16、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为边AD的中点，点P为线段 $D_{1} B$ 上的动点，设 $D_{1} P = λ D_{1} B$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，EP//平面 $A B_{1} C$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $|P E|$ 取得最小值，其值为 $\sqrt{2}$ C、 $|P A| + |P C|$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、当 $C_{1} \in$ 平面CEP时， $λ = \frac{1}{4}$

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17、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在椭圆上，当 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为1时， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 等于（）

A、0 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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18、已知直线 $l : x + y - 2 = 0$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + a = 0$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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19、已知直线 $l : x - 2 y - m = 0$ 在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（）.

A、－2 B、－ $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是边长为1的菱形，且 $∠ A D C = 120 °, P D = A D$ ，则（）

A、 $(\vec{D A} + \vec{D C}) \cdot \vec{D P} = 1$ B、 $(\vec{D P} + \vec{D B}) \cdot \vec{A D} = \frac{1}{2}$ C、 $\vec{C P} \cdot \vec{P A} = - \frac{1}{2}$ D、 $\vec{D C} \cdot \vec{B P} = \frac{1}{2}$

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