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1、已知函数 $f (x) = e^{x} + sin x - 2 x, g (x) = 2 - cos x$ .

(1)、已知直线 $x - y + a = 0$ 是曲线 $y = g (x), x \in [0, π]$ 的切线，求实数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求证： $f (x) \geq g (x)$ 恒成立.

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \frac{b}{cos B} = \frac{2 a - c}{cos C}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $2 b^{2} = 2 c^{2} + a c$ ，求 $cos C$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若边 $c = 2$ ，点 $D$ 为线段 $A B$ 上的动点，点 $E$ 为线段 $B C$ 上的动点，且线段 $D E$ 平分 $△ A B C$ 的面积，求线段 $D E$ 长度的最小值.

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3、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = B B_{1} = 2$ ，且 $A B ⊥ B C$ ，点 $E, F$ 分别为线段 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} E ⊥$ 平面 $B E F$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B E F$ 的夹角.

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4、已知递增数列 $\{a_{n}\}$ 共有 $m$ 项（ $m \in N^{*}, m$ 为定值）且各项均不为零，末项 $a_{m} = 1$ .若从数列 $\{a_{n}\}$ 中任取两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}$ ，当 $i < j$ 时， $a_{j} - a_{i}$ 仍是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （用含 $m$ 和 $n$ 的式子表示.）

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5、函数 $f (x) = {cos}^{2} x + sin x cos x + 1$ 的最小正周期是， $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调递减区间是.

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6、已知曲线 $y = e^{x - 1} + a x^{3} + 1$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为4，则实数 $a$ 的值为.

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7、若函数 $f (x) = x ln x - \frac{1}{2} m x^{2} - x$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{2} > x_{1})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $m = 1$ 时满足条件 B、不存在实数 $m$ 使得 $x_{1}, x_{2}$ 均为正整数 C、当 $x_{2} \geq x_{1}^{3}$ 时， $m$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3} ln 3}{6}$ D、对任意正整数 $n$ ，均存在对应的 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $n = \frac{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}{ln (x_{1} x_{2})}$

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8、若 $l$ 是平面 $α$ 的一条斜线， $l \cap α = O$ ，直线 $a \subset$ 平面 $α$ 且 $O \notin$ 直线 $a$ ，记直线 $l$ 与平面 $α$ 所成的角为 $θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $l$ 与 $a$ 是一对异面直线 B、若点 $A$ 和 $B$ 分别为直线 $l$ 上和平面 $α$ 内异于点 $O$ 的点，则 $∠ A O B \geq θ$ C、若 $M$ 和 $N$ 分别是直线 $l$ 与 $a$ 上的动点，则满足 $M N ⊥ l$ 且 $M N ⊥ a$ 的直线不唯一 D、过直线 $a$ 有且只有唯一平面与直线 $l$ 平行

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9、函数 $y = a^{x} - \frac{1}{a} (a > 1)$ 的图象经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x| - 1, & - 1 \leq x < 1, \\ 2 f (x - 2), & 1 \leq x \leq 7, \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 至少有5个不等的实数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $[- 4, 0]$ D、 $[- 8, 0]$

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11、已知 $a b > 0$ 且 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + 2 b + 1}{a b}$ 的最小值是（）

A、12 B、16 C、15 D、14

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12、若 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a = 4, b = 16, C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于 $D$ ，且 $C D = 4$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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13、设函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 为偶函数.当 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ 时， $|x_{1} - x_{2}|$ 有最小值2，则 $ω$ 和 $φ$ 的值分别是（）

A、 $ω = π, φ = 0$ B、 $ω = π, φ = \frac{π}{2}$ C、 $ω = \frac{π}{2}, φ = \frac{π}{2}$ D、 $ω = \frac{π}{2}, φ = 0$

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14、若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径 $r$ 的数值为（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\sqrt{3}$

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (- 2, λ)$ ，且 $|\vec{b}| = \sqrt{5}, (λ > 0)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、0

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16、已知 $z = \frac{2 (1 - i)}{1 + i}, \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z} =$ （）

A、0 B、 $2 i$ C、2 D、 $- 2$

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17、已知 $A = \{x ∣ |x| \leq 1\}, B = {x ∣ x < 5, x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1\}$ C、 $[0, 1]$ D、 $(0, 1]$

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18、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $|a_{n} - a_{n + 1}| = n + 1$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ．若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} a_{n + 4} + 1 \geq a_{n + 2}^{2}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ．

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ，且 $a_{1} = 0$ ，请直接写出 $a_{3}$ 的所有可能取值；

(2)、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ 的取值范围；

(3)、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 同时具有性质 $P_{1}$ 和性质 $P_{2}$ ， $a_{5} = 3$ ，且 $0$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 的项，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点， $G$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C_{1} G} = t \vec{G C} (t > 0)$ ．

(1)、证明： $E F$ $/ /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若三棱锥 $C {}_{1}- A B C$ 的体积为1，且二面角 $A - E G - F$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{53}}{53}$ ，求 $t$ 的值．

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20、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 $M$ 的中心为坐标原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 均在 $x$ 轴上，面积为 $2 π$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $M$ 上.

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、经过点 $P (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $△ O A B$ 与椭圆 $M$ 的面积比为 $\frac{2}{5 π}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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