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1、下列命题正确的是（）

A、棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体 B、球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转 $180 °$ 所形成的曲面 C、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台

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2、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{4}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆圆心，是 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} + \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、3 D、5

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3、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若 $b = a (\cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin C)$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点 $D$ 在 $B C$ 上， $A D = \sqrt{3}$ ， $b = 3 c$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、4

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\frac{5 \cos B - 8 \cos C}{8 c - 5 b} = \frac{\cos A}{a}$ ，又 $△ A B C$ 的面积 $S = 10 \sqrt{3}$ ，且 $B + C = 2 A$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} + \vec{B C} \cdot \vec{C A} + \vec{C A} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、64 B、84 C、-69 D、-89

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5、嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度 $A B$ ，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 30 ^{\circ}$ ， $∠ B D C = 45 ^{\circ}$ ， $C D = 4$ ，在 $C$ 点测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60 ^{\circ}$ ，则塔的总高度为（）

A、 $12 - 4 \sqrt{2}$ B、 $12 - 4 \sqrt{3}$ C、 $12 + 4 \sqrt{2}$ D、 $12 + 4 \sqrt{3}$

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6、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶装满水的体积约为（）

A、0.182升 B、0.205升 C、0.218升 D、0.235升

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7、若复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = (2 + i) (3 - 4 i)$ ，则 $| z | =$

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、5 D、25

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - b x - 1$ ，其中 $a, b \in R$ ， e为自然对数的底数.

(1)、若 $a = 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $b = 0$ ，对任意 $x_{1}, x_{_{2}} \in [1, 2], x_{1} \neq x {}_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a (x_{1} + x_{2})$ ，同时 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在两个极值点m，n，求 $a$ 的取值范围.

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9、有 $n$ 个编号分别是 $1, 2, \dots, n$ 的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第 $n$ 个罐子中随机取出一颗糖果.设事件 $A_{i}$ 表示从第 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ 个罐子中取出红色糖果，记事件 $A_{i}$ 发生的概率为 $P (A_{i})$ .

(1)、求 $P (A_{1})$ 的值；

(2)、求 $P (A_{2})$ 的值，并证明：当 $n \geq 2$ 时， $5 P (A_{n}) = P (A_{n - 1}) + 2$ ；

(3)、求 $P (A_{n})$ （用含 $n$ 的式子表达）.

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10、在三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b sin A + \sqrt{3} c = \sqrt{3} b cos A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{6}$ ，设 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 2$ ，求三角形 $A B C$ 的周长.

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两个不同的点， $\vec{M F} + \vec{N F} = 2 \vec{O F}$ （ $O$ 为坐标原点）， $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} S_{△ M N F} = \frac{1}{2} {|\vec{O F}|}^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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12、已知圆锥的底面半径为6，体积为 $96 π$ ，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为 $84 π$ ，则该圆台的表面积为．

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13、有一散点图如图所示，在5个 $(x, y)$ 数据中去掉 $D (3, 10)$ 后，下列说法错误的是（）

A、残差平方和变小 B、相关系数r变大 C、决定系数 $R^{2}$ 变大 D、解释变量x与响应变量y的相关性变弱

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{3} + 2 x^{2} + \frac{21}{20} x, x \leq 0 \\ \frac{\ln x}{x}, x > 0 \end{cases}$ ， $g (x) = f (x) - 2 a x$ ，若函数 $g (x)$ 有5个零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{4 e})$ B、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{2 e})$ C、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{40}, \frac{1}{4e})$

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15、若函数 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ，则称f（x）为数列 $\{a_{n}\}$ 的“伴生函数”，已知数列 $\{a_{n}\}$ 的“伴生函数”为 $f (x) = 2 x + 1$ ， $a_{1} = 1$ ，则数列 $\{n a_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} =$ （）

A、 $n \cdot 2^{n} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ B、 $n \cdot 2^{n + 1} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ C、 $(n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $(n - 1) \cdot 2^{n} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$

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16、已知 $A, B, C$ 是球 $O$ 的球面上的三个点，且 $∠ A C B = 120 °, A B = \sqrt{3}, A C + B C = 2$ .若三棱锥 $O - A B C$ 的体积是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $36 π$ B、 $24 π$ C、 $12 π$ D、 $8 π$

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17、若将函数 $f (x) = \cos x + \sqrt{3} \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 图象的对称轴可能是（）

A、直线 $x = \frac{π}{2}$ B、直线 $x = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{12}$ D、直线 $x = - \frac{π}{6}$

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18、在 $△ A B C$ 中，点D在BC上，且满足 $|B D| = \frac{1}{4} |B C|$ ，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $9 + 4 \sqrt{2}$

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19、已知 $a = {0.1}^{- 0.01}, b = {log}_{0.5} 0.6, c = {log}_{2} \frac{7}{10}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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20、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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