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1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 5$ .
（1）证明： $\{a_{n} + 5\}$ 是等比数列；
（2）若 $S_{n} + 5 n > 128$ ，求 $n$ 的最小值.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值.

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3、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导函数为 $g (x)$ ，若函数 $y = f (x + 2) - 1$ 是奇函数，函数 $y = g (x + 1)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (2) = 1$ B、 $g (2) = 1$ C、函数 $y = f (x) - 1$ 是奇函数 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 1012$

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4、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ；
乙：该函数图象可以由 $y = \cos 2 x - \sqrt{3} \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到；
丙：该函数在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{6})$ 上单调递增；
丁：该函数满足 $f (\frac{π}{3} + x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ ．
如果只有一个假命题，那么该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5、下列四个命题：
①若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$
②若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$
③若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$
④若 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$
其中正确命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6、对任意两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ ，定义 $\vec{m} \otimes \vec{n} = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{\vec{n} ^{2}}$ .若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| \geq 3 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角，且 $4 (\vec{b} \otimes \vec{a})$ 是整数，则 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的取值范围是.

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n}$ 为正整数， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \end{array}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024} =$ .

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8、函数 $f (x) = 2 sin (ω x - \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上存在最小值 $- 2$ ，则实数 $ω$ 的最小值是.

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9、5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了%.（参考数值 $\lg 2 \approx 0.301$ ）

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10、若函数 $f (x) = a x^{2} - x$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是.

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11、已知数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + 1\}$ 为等比数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{n} =$ .

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12、记 $i$ 是虚数单位，设复数 $z = 1 + b i$ $(b > 0)$ 且 $|z| = 2$ ，则复数 $z$ 的虚部为.

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13、若扇形的圆心角为 $60 °$ ，半径为2，则扇形的弧长 $l =$ ．

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14、函数 $y = \ln (2 - 3 x)$ 的定义域是．

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15、集合 $A = {x ∣ 0 \leq x < 4$ 且 $x \in N}$ 的真子集的个数是．

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16、世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产 $x$ （百辆），需另投入成本 $C (x)$ （万元），且 $C (x) = \{\begin{cases} 10 x^{2} + 100 x, 0 < x < 40 \\ 501 x + \frac{10000}{x} - 4500, x \geq 40 \end{cases}$ ；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)、求出2022年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；

(2)、2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

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17、求下列函数的解析式

(1)、若 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 2 \sqrt{x}$ ，求 $f (x)$ ；

(2)、已知 $f (x)$ 是一次函数，且 $f [f (x)] = 4 x + 3$ ，求 $f (x)$

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18、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 < 0\}$ ， $B = \{x |- 1 < x < m + 1\}$ ，

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围.

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19、已知定义在区间 $[- 2, 2]$ 上的一个偶函数，它在 $[0,2]$ 上的图象如图，则 $f (x) \leq 0$ 的解集为.

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20、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2\}$ ， $B = \{1, 2, 5\}$ ， Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有个子集.

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