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1、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{13}}{39}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{39}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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2、已知正实数构成的集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N^{*})$

(1)、若定义 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A\}$ ，当集合 $A + A$ 中的元素恰有 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $P$ .
①当 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{1, 2, 4\}$ 时，判断集合 $A$ ， $B$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；
②设集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}\}$ ，其中数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} > 0$ 且公比为2，判断集合 $A$ 是否具有性质 $P$ 并说明理由.

(2)、若定义 $A + A = \{a_{i} + a_{j} |a_{i}, a_{j} \in A, 且 i \neq j\}$ ，当集合 $A + A$ 中的元素恰有 $\frac{n (n - 1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $Ω$ .设集合 $A$ 具有性质 $Ω$ 且 $A + A$ 中的所有元素能构成等差数列.问：集合 $A$ 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

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3、已知 $x = 2$ 为函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2} - \frac{1}{e}$ 的极小值点.

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{k x}{e^{x}}$ ，若对 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 0$ ，求 $k$ 的取值范围.

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4、已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 $O$ 交于点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，将射线 $O A$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后于单位圆 $O$ 交于点 $B (x_{2}, y_{2})$ ， $f (α) = x_{1} - x_{2}$ ， $g (α) = x_{1} \cdot x_{2}$ .

(1)、若 $α \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (α)$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，当函数 $F (α) = g (α) + m f (α) - \frac{m^{2}}{2}$ 的最大值是 $- \frac{15}{2}$ 时，求 $m$ 的值.

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，分别以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，已知 $S_{1} - S_{2} + S_{3} = \sqrt{3}$ ， $sin B = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $sin A sin C = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$

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6、记 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{2} - 2$ ， $a_{3} - 4$ ， $a_{4} - 6$ 成等比数列.

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} S_{n} = 2$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ .

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是以 $a$ 为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数 $t$ ，使得数列 ${\sqrt{S_{n} + t}}$ 也成等差数列，则实数 $a$ 的取值范围是.

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8、已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{a}$ 的夹角为.

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9、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω$ 的值为.

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x, x \leq 0 \\ a x^{3} + x, x > 0 \end{array}$ ，若不等式 $f (x - 1) \geq f (x)$ 对任意 $x \in R$ 都成立，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{32}{27}$ B、 $- \frac{16}{27}$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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11、已知两个正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则下述结论正确的是（）

A、 $|a - 1| = |b - 1|$ B、 $2^{a} + 2^{b} \geq 4$ C、 $lg a \geq lg \frac{1}{b}$ D、 $b - \frac{4}{a^{2}} < - 1$

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12、设四个复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = i (1 + 3 i)$ ， $z_{3} = - 2 + \sqrt{6} i$ ， $z_{4} = a - 3 i (a > 0)$ 在复平面 $x O y$ 内的对应点 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ 、 $Z_{3}$ 、 $Z_{4}$ 在同一个圆上，则下述结论正确的是（）

A、 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 互为共轭复数 B、点 $Z_{3}$ 在第二象限 C、复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的虚部是 $- \frac{3}{5}$ D、 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{4}}$

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13、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上单调递减，且满足 $f (4 + x) + f (x) = 2 f (- 2)$ ，函数 $y = f (x - 2)$ 的对称中心为 $(4, 0)$ ，则下述结论正确的是（）（注： $ln 3 \approx 1.099$ ）

A、 $f (2024) = 0$ B、 $f (1) + f (\frac{7}{2}) > 0$ C、 $f (3) > f (2 {log}_{2} 48)$ D、 $f (4 sin 1) > f (ln \frac{1}{9})$

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14、已知函数 $f (x) = sin (π x - \frac{π}{6})$ ，当 $x \in [0, 20]$ 时，把 $f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2}$ 的所有交点的横坐标限依次记为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ ，记它们的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{1160}{3}$ B、 $\frac{580}{3}$ C、 $\frac{560}{3}$ D、 $\frac{280}{3}$

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15、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 边上的中点，点 $F$ 满足 $\vec{D F} = 2 \vec{F E}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ B、 $\vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

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16、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x} - x^{\frac{1}{5}}$ ，那么在下列区间中含有函数 $f (x)$ 零点的是（）

A、 $(0, \frac{1}{5})$ B、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, 1)$ D、 $(1, 4)$

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17、设 $a, b \in R$ ，则“ $\frac{1}{a} > b > 0$ ”是“ $a < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ， $cos α cos β = \frac{1}{3}$ ，则 $tan α tan β =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |\log_{2} x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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20、帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似为 $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n}}$ ，该函数满足 $f (0) = R (0), f^{'} (0) = R^{'} (0), f^{″} (0) = R^{″} (0), \dots, f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ．
注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}, f^{(3)} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}, \dots, f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$ ．
设函数 $f (x) = e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的 $[0, 1]$ 阶帕德近似为 $R (x)$ ．

(1)、求 $R (x)$ 的解析式；

(2)、证明：当 $x < 1$ 时， $f (x) \leq R (x)$ ；

(3)、设函数 $g (x) = e^{x} - \frac{1}{1 - x + k x^{2}}$ ，若 $x = 0$ 是 $g (x)$ 的极大值点，求k的取值范围．

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