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1、《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为 $a + b$ ，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边 $B C$ 的中点，作直角三角形 $A B C$ 的内接正方形对角线 $A E$ ，过点A作 $A F ⊥ B C$ 于点F，则下列推理不正确的是（）

A、由图1和图2面积相等得 $d = \frac{2 a b}{a + b}$ B、由 $A E \geq A F$ 可得 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{4}} \geq \sqrt{\frac{a + b}{2}}$ C、由 $A D \geq A E$ 可得 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ D、由 $A D \geq A F$ 可得 $a^{2} + b^{2} \geq a + b$

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2、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x ∣ x < - 6}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

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3、寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程 $s$ 一时间 $t$ ”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上递增，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、2或 $- 1$

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5、下列函数在区间 $(0, 1)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = 1 - x$ B、 $y = x^{2} - 2 x$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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6、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $b > a > 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} > \frac{a}{b}$

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7、函数 $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1]$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1)$

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8、不等式 $(3 - x) (x + 1) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ B、 $\{x |- 1 < x \leq 3\}$ C、 ${x | x > - 1$ 或 $x \leq 3}$ D、 $R$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{4 - x^{2}}$ 是定义域为 $(- 2, 2)$ 上的奇函数，且 $a > 0$ .

(1)、求b的值，并用定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上是增函数；

(2)、若对 $\forall t \in (0, 1)$ ，都有 $f (t^{2} - m) + f (1 - t) < 0$ ，求实数 $m$ 的范围.

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10、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (a + 3) x + 3 > 0$ 的解集为 $A$ .

(1)、若 $3 \notin A$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、集合A中有且仅有两个整数，求实数 $a$ 的取值范围；

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11、经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足 $f (t) = 100 (1 + \frac{1}{t})$ ，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足 $g (t) = 125 - | t - 25 |$ ．

(1)、试写出该商品的日销售金额 $w (t)$ 关于时间t（1≤ $t$ ≤30，t∈N）的函数表达式；

(2)、求该商品的日销售金额 $w (t)$ 的最大值与最小值．

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12、已知集合 $A = \{x ∣ 6 \leq x \leq 20\}$ ，集合 $B = \{x ∣ x \leq 2 a\}$ ，命题 $p : \exists x \in A, x \in B$ ，命题 $q : \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - a > 0$ ．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 和命题 $q$ 至少有一个为真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、（1）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 2$ ，求 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值；
（2）已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，求 $y = x (1 - 2 x)$ 的最大值.

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14、定义 $min \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ 若函数 $f (x) = min \{x^{2} - 3 x + 3, - |x - 3| + 3\}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为；若 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域为 $[\frac{3}{4}, 2]$ ，则 $n - m$ 的最大值为．

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15、已知 $p : - 2 \leq x \leq 2, q : 1 - m \leq x \leq m - 1$ ，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为.

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16、若函数 $y = f (x)$ 是偶函数，且在 $(- \infty, 0)$ 上是严格增函数，则 $f (π)$ 、 $f (- 3)$ 、 $f (- \sqrt{3})$ 的大小关系是．

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17、一般地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ ，值域为 $[k a, k b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ 倍美好区间” $.$ 特别地，若函数的定义域为 $[a, b]$ ，值域也为 $[a, b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“完美区间” $.$ 下列结论正确的是（）

A、 $[\frac{1}{3} ， 3]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的“完美区间” B、若 $[2, b]$ 为 $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$ 的“完美区间”，则 $b = 6$ C、二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{13}{2}$ 存在“ $2$ 倍美好区间” D、函数 $f (x) = \frac{m | x | - 1}{| x |}$ 存在“完美区间”，则实数 $m$ 的取值范围为 $(2, + \infty) \cup \{0\}$

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18、若正实数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 有最小值 $\frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a + 2 b} + \frac{1}{2 a + b}$ 有最小值 $\frac{4}{3}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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19、下列说法正确的有（）

A、式子 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x + 2}$ 可表示自变量为 $x$ 、因变量为 $y$ 的函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有 $1$ 个 C、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 ， & x \leq 0 \\ x - 4 ， & x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (0)] =$ 4 D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$ 是同一函数

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20、函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的单调函数且对任意的实数都有 $f (a + b) = f (a) + f (b) - 1$ ， $f (4) = 5$ ，则不等式 $f (1 - 2 m) < 3$ 的解集是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(- \frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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