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1、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A H ⊥ B C$ 于点H，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，DE，HF相交于点O.
求证：OE=OF.

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2、

(1)、已知 $a \neq b$ ，且 $a^{2} - 4 a + 1 = 0, b^{2} - 4 b + 1 = 0$ ，求 $\frac{2}{a + 2} + \frac{2}{b + 2}$ 的值.

(2)、计算： $(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \div (\frac{1}{1013} + \frac{1}{1014} + \frac{1}{1015} + ⋯ + \frac{1}{2024})$ .

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3、

(1)、计算： $(- 2024)^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt[3]{- 27}$ .

(2)、化简： $(\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，下面是小李和大李两同学的部分运算过程：
小李同学：解：原式 $= (\frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x}$
李同学：解：原式= $= (\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x}$
请选择一种解法，写出完整的解题过程.

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4、如图，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图象上的点， $B C ⊥ y$ 轴于点 $C (0, 1)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(0, - 1), A B$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，连结CD，知 $A D = 2$ .若 $P (m, n)$ 是此反比例函数图象上的点，且满足 $∠ P D C > ∠ A D C$ ，
则 $m$ 的取值范围是

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5、如图，正方形ABCD中， $A B = 4, E$ 是AB的中点 $F$ 是线段EC上一动点， $M$ 为DF的中点，连接BM，则当点 $F$ 从点 $C$ 运动到点 $E$ 时，点 $M$ 经过的路径长为.

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6、已知正整数x，y满足 $y = \frac{x + 8}{2 x - 1}$ ，则符合条件的x，y的值有.

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C + A B = 8, ∠ C A B = 6 0^{°}$ ， $D$ 为BC的中点，则AD的最小值是.

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8、在菱形ABCD中， $A B = 5, B C$ 边上的高为4，则对角线AC的值是.

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9、"杨辉三角"是中国古代重要的数学成就，它比西方的"帕斯卡三角形"早了近300年，如图是一个"杨辉三角"数阵，第1行第1个数是1，第2行第2个数是 $2, ⋯$ ，则第9行第3个数是.

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10、已知：如图，将边长为 $\sqrt{3}$ 的正 $△ A B C$ 的三个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的六边形DEFGHI.则阴影部分的面积是.

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11、计算： $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2023} (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2024} =$ .

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12、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 $O, A B = A O = 1 + \sqrt{3}, E$ 为AD边上一个动点（不与点D，E重合）连接OE，将 $△ O D E$ 沿OE折叠，点 $D$ 落在 $M$ 处，OM交边AD于点 $F$ ，当 $△ A O F$ 是等腰三角形时，MF的长是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或1 D、 $1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$ 或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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13、代数式 $\sqrt{(4 - x)^{2} + 49} - \sqrt{x^{2} + 1}$ 的最大值是（）

A、6 B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、不存在

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14、若方程 $x^{2} + 2 (1 + a) x + 3 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} + 2 = 0$ 有实数根，则ab的值是（）

A、- $\frac{1}{2}$ B、-2 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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15、如图钢架中， $∠ A = α$ ，焊上等长的钢条 $P_{1} P_{2}$ ， $P_{2} P_{3}, P_{3} P_{4}, ⋯$ .若 $P_{1} P_{2} = P_{1} A$ ，这样的钢条能且只能焊5根，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $α \geq 1 5^{°}$ B、 $α < 1 8^{°}$ C、 $1 5^{°} \leq α < 1 8^{°}$ D、 $1 5^{°} < α \leq 1 8^{°}$

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16、如图，在 $□ A B C D$ 中， $∠ B A C = 4 5^{°}, A E ⊥ B C$ 于点 $E$ . $B E = 6, C E = 4$ ，则 $□ A B C D$ 的面积为（）

A、60 B、120 C、50 D、100

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17、已知 $2 x^{4} - x^{3} + x - 2 = 0$ ，则 $x + \frac{1}{x}$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、-2或2 D、 $- 2, 2$ 或 $\frac{1}{2}$

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18、已知五个数据：1，2，3，6，x.若这组数据的中位数和平均数相等，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、-2 C、3或0 D、3或-2

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19、用反证法证明"四边形中至少有一个内角不小于 $9 0^{°}$ "时，首先应假设（）

A、至少有一个内角大于 $9 0^{°}$ B、四个内角都小于 $9 0^{°}$ C、至少有一个内角小于 $9 0^{°}$ D、四个内角都大于 $9 0^{°}$

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20、已知a，b，c均为实数，且满足 $a < b$ ，下列式子一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $c^{2} a < c^{2} b$ C、 $- 2 a < - 2 b$ D、 $a - 2 < b + 2$

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