相关试卷

1、阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ${(\sqrt{2 - 3 x})}^{2} - |1 - x|$ ．
解：隐含条件 $2 - 3 x \geq 0$ ，
解得 $x \leq \frac{2}{3}$ ，
∴ $1 - x > 0$ ，
∴原式 $= (2 - 3 x) - (1 - x) = 2 - 3 x - 1 + x = 1 - 2 x$
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 $\sqrt{{(x - π)}^{2}} - {(\sqrt{3 - x})}^{2}$ （结果保留 $π$ ）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： $\sqrt{a^{2}} - \sqrt{{(a + b)}^{2}} - |b - a|$

（3）已知a，b，c为 $△ A B C$ 的三边长．化简： $\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} - \sqrt{{(b - a - c)}^{2}} + \sqrt{{(c - b - a)}^{2}}$

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2、根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 $x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}$ 方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{3}$ 方程 $x + \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解为 $x_{1} = 4, x_{2} = \frac{1}{4} \dots \dots$
以此类推：

(1)、请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 $x + \frac{1}{x} = 8 + \frac{1}{8}$ 的解是______；

(2)、根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 $x + 1 + \frac{1}{x + 1} = a + \frac{1}{a} (a \neq 0)$ 得到 $x + 1 =$ ________；

(3)、拓展延伸：由（2）可知，在解方程 $x + \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{82}{9}$ 时，可变形转化为 $x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．

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3、“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买台梅3千克，乌梅4千克，共需172元．

(1)、求台梅和乌梅每千克各多少元？

(2)、一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购买台梅多少千克？

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4、解方程及解不等式组．

(1)、解方程： $\frac{4}{x - 2} = \frac{1 + x}{2 - x} + 3$

(2)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} x - 1 < 2 x \\ 2 (x - 3) \leq 3 - \frac{x}{2} \end{array}$

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5、计算题

(1)、 ${(π - 3)}^{0} - \sqrt{24} \div \sqrt{6} + {(- 1)}^{- 2025}$ ；

(2)、 $|- 2 \sqrt{2}| + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - \sqrt{16} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$

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6、在 $\sqrt{1}$ ， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， …， $\sqrt{1999}$ 这1999个式子中，与 $\sqrt{2000}$ 可以合并的所有项之和为

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7、已知 $x$ 为整数，且 $\frac{2}{x + 4} + \frac{2}{4 - x} + \frac{2 x + 24}{x^{2} - 16}$ 为整数，则所有符合条件的 $x$ 的值的积为．

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8、对于任意不相等的两个数 $a$ ， $b$ ，定义一种运算 $※$ 如下： $a ※ b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}$ ，如 $5 ※ 4 = \frac{\sqrt{5 + 4}}{5 - 4} = 3$ ，那么 $(2 - \sqrt{3}) ※ (7 ※ 5) =$ ．

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9、已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$ ，则分式 $\frac{2 x + 3 x y - 2 y}{3 x - 2 x y - 3 y}$ 的值为．

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10、若 $a^{x} = 8$ ， $a^{y} = 4$ ，则 $a^{2 x - 3 y}$ 的值为．

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11、石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，则数0.00000000034用科学记数法表示为．

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12、已知 $m = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}, n = \frac{y}{x} - \frac{x}{y}$ ，那么 $m^{2} - n^{2}$ 的值为（）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、0

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13、若关于x 的分式方程 $\frac{2 m - 1}{x + 1} = m$ 无解，则 m 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或0 B、－1 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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14、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{- 4} = - 2$ B、 $\sqrt{a^{2}} = a$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 ${(\sqrt{2} + 1)}^{2} = 3$

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15、下列命题中，正确的是（）

A、若 $a > b, c > b$ ，则 $a > c$ B、若 $a > b$ ，则 $- 2 - a > - 2 - b$ C、若 $a > b$ ，则 $- 5 a + 1 > - 5 b + 1$ D、若 $a > b$ ，则 $- 3 a < - 3 b$

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16、若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 ${(a - 5)}^{2} + \sqrt{b - 3} + | c - 5 | = 0$ 那么△ABC 的形状是（）

A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、等边三角形 D、直角三角形

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17、下列式子： $- 4 x$ ， $\frac{2}{a}$ ， $\frac{x^{2} - y^{2}}{x - y}$ ， $\frac{x}{π + 1}$ ， $x - \frac{1}{y^{2}}$ ， $a - 3 b$ ，其中是分式的个数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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18、【定义】
如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”。
如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°，则四边形ABCD是对补四边形。
图1 图2 图3 备用图
【应用】

(1)、如图1，在对补四边形ABCD中，∠A=100°，则∠C=；

(2)、如图2，在对补四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，DC=2，则BC=；

(3)、如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD。
①求证：BC=CD；
②若∠BAD=60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由。

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19、综合与实践
【背景】住深圳的小颖想给亲朋好友寄送深圳特产。
【素材】
素材1：她了解到某快递公司的收费
标准（单位：元/千克）如下表：
计费
单位
收费标准
广东省内
江浙沪地区
首重
a
a+2
续重
b
b+4
素材2：
素材3：收费说明：
①每件快递按送达地分别计算运费；
②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费。首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）。
【问题解决】

(1)、任务1：根据以上信息，求出a、b；

(2)、任务2：小颖给在汕头的表哥寄出了2.8千克的深圳特产，她需要支付快递费多少元？

(3)、任务3：小颖给在杭州的大姨寄特产快递费花了66元，求这份特产重量的取值范围。

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20、《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何。大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺。将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE。

(1)、求水池的深度OD；

(2)、中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法。他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a ，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式 $b = \frac{a_{}^{2} - n_{}^{2}}{2 n}$ 计算得到。请证明刘徽解法的正确性。

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计费单位	收费标准
计费单位	广东省内	江浙沪地区
首重	a	a+2
续重	b	b+4